第四节第四章有理函数的积分·基本积分法：直接积分法：换元积分法；分部积分法求导·初等函数初等函数积分本节内容：一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例
第四节 • 基本积分法 : 换元积分法 ; 分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 第四章 直接积分法 ;
一、有理函数的积分有理函数：n-1aox"+aix"1+...+anP(x)R(x) =Q(x)boxm +bixm-1 +...+ bmm≤n时,R(x)为假分式;m>n 时,R(x)为真分式有理函数真分式多项式+相除分解若干部分分式之和其中部分分式的形式为AMx+N(kEN+,p2-4q<0)(x-a)k"(x2+px+q)
一、 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x n n n a x a x a 0 1 1 有理函数: m n 时, 为假分式; m n 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分式 分解 其中部分分式的形式为 k k x p x q M x N x a A ( ) ; ( ) 2 ( , 4 0 ) 2 k N p q 若干部分分式之和
有理函数化为部分分式之和的一般规律：（1）分母中若有因式（x-α)k，则分解后为AR(x-a)k(x-a)kx-a其中A,AA是常数如：x-3x-3(x-1)(x2 -1)(x -1)(x+1)B(x-1)2x-1x+1
有理函数化为部分分式之和的一般规律： （1）分母中若有因式 ( ) x a k ，则分解后为 1 2 1 , ( ) ( ) k k k A A A x a x a x a 1 2 , , , . 其中A A Ak 是常数 如： 2 3 ( 1)( 1) x x x 2 3 ( 1) ( 1) x x x 2 ( 1) 1 A B x x 1 D x
(2）分母中若有因式（x2+px+g)，其中p2-4q<0则分解后为M,x+NM,x+N,M,x+N(x? + px+g)*+ (x? + px+g)k-x?+px+q其中M,N(i=lk)都是常数
（2）分母中若有因式 ( ) x px q 2 k ，其中 则分解后为 2 p q 4 0 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) k k k k M x N M x N M x N x px q x px q x px q , ( 1, , ) 其中M N i k i i 都是常数
四种典型部分分式的积分：dx=Aln x-a+C(x-a)l-n +C (n±l)Ya(x2+ px+q)Mx+N=2x+p3dx变分子为x?+ px+q(2x+ p) +N_MpMx+Ndx再分项积分(x? + px +q)n(p2-4g<0,n±1)
四种典型部分分式的积分: Aln x a C x a C (n 1) n A n 1 ( ) 1 x x a A 1. d x x a A n d ( ) 2. x x px q M x N 3. d 2 x x px q M x N n d ( ) 4. 2 变分子为 (2 ) 2 x p M 2 M p N 再分项积分 x p x px q 2 ( ) 2