第三章微分中值定理与导数的应用罗尔中值定理推广泰勒公式拉格朗日中值定理中值定理(第三节）柯西中值定理研究函数性质及曲线性态应用利用导数解决实际问题
第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用
第一节中值定理一、罗尔(Rolle）定理二、拉格朗日（Lagrange）中值定理三、柯西（Cauchy）中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 第一节 二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理
一、罗尔(Rolle)定理费马（fermat）引理wn.p.dy=f(x）在x的某个邻域U(x）有定义，> f'(xo) = 0且f(x)≤ f(xo), f'(xo)存在(或≥)证:设Vxo +Ax U(xo), f(xo + Ax)≤ f(xo),f(xo + Ax)- f(xo)则 f'(xo)= limXoAxAr-0f"(xo)≥0(△x→0-)>f'(xo)=0f(xo)≤0 (x→0t)证毕费马
费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 且 存在 (或 ) 证: 设 则 0 0 费马 证毕x y O 0x
罗尔（Rolle）定理y= f(x)V=f(x)满足：(1)在区间[a，b]上连续(2)在区间（a,b)内可导Lbxac(3) f(a)=f(b)>在（ab）内至少存在一点三，使f（）=0证：因f(x)在[a，b]上连续，故在[a，b]上取得最大值M和最小值m若M=m,则f(x)=M,xE[a,b]因此VEE(a,b), f'()=0
罗尔( Rolle )定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 f ( ) 0. 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 x y a b y f (x) O
若M>m，则M和m中至少有一个与端点值不等不妨设 M ±f(a),则至少存在一点 (a,b),使f（）=M，则由费马引理得f（）=0A= f(x)注意：1）定理条件条件不全具备，结论不一定aebx成立.例如，x, 0≤x<1f(x)= xf(x)=xf(x)=0.x=1xe[-1,1]xe[0,1]yix1 xC-101xf(O)±f(1)在(0,1)不可导在[0,]不连续
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 f ( ) 0. 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定 成立. 则由费马引理得 1 x y O 1 x y 1 O 1 x y O x y a b y f (x) O 例如