沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第4章 矩阵的特征值与特征向量

线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量一个基础解系为n2 =1于是，属于=2的全部特征向量为k,n2(k,±0)(1111)1111例3设A=，求A的特征值与的特征向量1111(1111)解A的特征多项式为1[1-元111111-元[A-E|==2(a-4)111-元11111-2所以A的特征值为===0,=4对于^===0，求解齐次线性方程组（A-0E)x=0，即0111x01111X2111x00(x)一个基础解系为(-1)100ni =,n2 =,n=00-00(-1)于是，属于===0的全部特征向量为k++k不全为零）对于2，=4，求解齐次线性方程组（A-4E)x=0，即-80 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 - 80 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 一个基础解系为 2 0 1 1          于是，属于 3   2的全部特征向量为 2 2 2 k  (k  0). 例 3 设 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        A ，求 A 的特征值与的特征向量. 解 A 的特征多项式为 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 4) 1 1 1 1 1 1 1 1                A E 所以 A 的特征值为 1 2 3 4       0,  4 对于 1 2 3       0 ，求解齐次线性方程组 (A 0E)x  0，即 1 2 3 4 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 x x x x                                一个基础解系为 1 2 3 1 1 1 1 0 0 , , 0 1 0 0 0 1                                               于是，属于 1 2 3       0 的全部特征向量为 1 1 2 2 3 3 k  k   k  （ 1 2 3 k , k , k 不全为 零）.对于 4   4 ，求解齐次线性方程组 (A 4E)x  0 ，即

线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量-31101X01-311x01X0一个基础解系为11n4 =1(1)于是，属于=4的全部特征向量为k,n(k，±0)三、特征值与特征向量的性质定理1设n阶矩阵A=(a）的特征值为，,2，",，，则(1),+,+.+,=a+a2+.+am=tr(A)（tr(A)称为A的迹);(2),=[A证明A的特征多项式为a-2..aina22-元...a2na21f(a)=[A-E|=.：：aal.am-aan2=(al - 2)(a22 - 2)..-(am - )+..若某项含有ag，则不会含有(a.-)和(α-2)，于是没有写出的各项的最高次数为"-2，因而f()的第一项完全决定了特征多项式中”和"-的次数.显然，”的系数为(-1)"，"-"的系数为(-1)"-(a+az2+…+am)另一方面，A的特征值为，2""，，，则必有f()=(-1)"(-)(-2) ..-(-n)将上式右端展开，"-的系数为(-1)(-1)(4+ +.+ ,)=(-1)"*( + +.+ )-81-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 81 - 1 2 3 4 3 1 1 1 0 1 3 1 1 0 1 1 3 1 0 1 1 1 3 0 x x x x                                    一个基础解系为 4 1 1 1 1         于是，属于 4   4 的全部特征向量为 4 4 4 k  (k  0) . 三、特征值与特征向量的性质 定理 1 设 n 阶矩阵 A = aij 的特征值为 1 2 , , ,     n ，则 （1） 1   2   n  a11  a22  ann  tr  A（tr A 称为 A 的迹）； （2） 1 2 n  A . 证明 A 的特征多项式为 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n n n nn a a a a a a f a a a                  A E  a11   a22   ann    若某项含有 ij a ，则不会含有aii    和ajj   ，于是没有写出的各项的最高次数 为 n 2   ，因而 f () 的第一项完全决定了特征多项式中 n  和 n 1   的次数.显然， n  的 系数为( 1) n  ， n 1   的系数为 1 11 22 ( 1) ( ) n nn a a a     另一方面， A 的特征值为 1 2 , , ,     n ，则必有 1 2 ( ) ( 1) ( )( ) ( ) n n f              将上式右端展开， n 1   的系数为 1 1 2 1 2 ( 1) ( 1)( ) ( 1) ( ) n n   n   n         

线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量比较系数得,+a,+.+a,=a+a2+..+am=tr(A在特征多项式中令元=0可得f(0)=A=(-1)"··,=证毕推论矩阵A可逆的充要条件是A的特征值都不为零定理2若入是矩阵A的特征值，n是A的属于特征值入的特征向量，f(x）是多项式，则f(a)为矩阵多项式f(A)的特征值，n仍为f(A)的属于特征值f(a)的特征向量下面仅就f(x)=x"的情况给予证明，定理本身可由读者自己证明例3若入是矩阵A的特征值，n是A的属于特征值的特征向量，证明当f(x)=x"时，"为矩阵多项式f(A)=A"的特征值，n仍为A"的属于特征值入”的特征向量证明由于An=n，所以A"n= A"-(An)= a(A"-'n)=...= am-(An)= a"n ,即A"n=a"n所以”为矩阵多项式f(A)=A"的特征值，n仍为A"的属于特征值a"的特征向量.例4对于可逆矩阵A，若入是矩阵A的特征值，n是A的属于特征值入的特征向量，证明（1）-是A-的特征值，n仍为A-的属于特征值α-的特征向量；A是的特征值，仍为4的属于特征值与(2)的特征向量元元证明（1）根据已知条件有An=an,n0- 82 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 - 82 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 比较系数得  1   2   n  a11  a22  ann  tr  A 在特征多项式中令   0 可得 2 1 2 1 2 (0) ( 1) n n n f  A          .证毕. 推论 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 的特征值都不为零. 定理 2 若 是矩阵 A 的特征值， 是 A 的属于特征值  的特征向量，f (x) 是 多项式，则 f () 为矩阵多项式 f (A) 的特征值， 仍为 f (A) 的属于特征值 f () 的 特征向量. 下面仅就 ( ) m f x  x 的情况给予证明，定理本身可由读者自己证明. 例 3 若  是矩阵 A 的特征值， 是 A 的属于特征值  的特征向量，证明当 ( ) m f x  x 时， m  为矩阵多项式 ( ) m f A  A 的特征值， 仍为 m A 的属于特征值 m  的特征向量. 证明 由于 A =  ，所以 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m m m m m       A   A A  A    A   ， 即 m m A  =   所以 m  为矩阵多项式 ( ) m f A  A 的特征值， 仍为 m A 的属于特征值 m  的特征向 量. 例 4 对于可逆矩阵 A ，若 是矩阵 A 的特征值， 是 A 的属于特征值  的特 征向量，证明 （1） 1   是 1 A 的特征值， 仍为 1 A 的属于特征值 1   的特征向量； （2）  A 是 * A 的特征值， 仍为 * A 的属于特征值  A 的特征向量. 证明 （1）根据已知条件有 A  ,  0