沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第五章 大数定律与中心极限定理 5.2 中心极限定理

H45.2 中心极限定理一、 问题的引入二、中心极限定理三、 例题分析沈阳师范大学

5.2 中心极限定理 一、问题的引入 二、中心极限定理 三、例题分析

+-1问题的引入例如对某物的长度进行测量，在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响，使测量产生误差X测量者观察时视线所产生的误差X：测量者心理和生理上的变化产生的测量误差X；.显然这些误差是微小的、随机的，而且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和,即X,沈阳师范大学

例如对某物的长度进行测量, 在测量时有 许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度 等因素对测量仪器的影响, 使测量产生误差X1 ; 测量者观察时视线所产生的误差X2 ; 测量者心 理和生理上的变化产生的测量误差X3 ; .显然 这些误差是微小的、随机的, 而且相互没有影 响. 测量的总误差是上述各个因素产生的误差 之和, 即∑Xi . 一、问题的引入

T我们关心的是当n一8时，随机变量和>X的极限分布是什么？由于直接研究>X的极限分布不方便，故先将其标准化为ZX,-EXi-1i=1Y=n2+=再来研究随机变量序列Y的极限分布沈阳师范大学

我们关心的是当n→∞时, 随机变量和∑Xi的极 限分布是什么? 由于直接研究∑Xi的极限分布不方 便, 故先将其标准化为:             − =    = = = n i i n i i n i i n D X X E X Y 1 1 1 再来研究随机变量序列{Yn }的极限分布

七生中二.中心极限定理1、林德伯格-列维（独立同分布的中心极限定理）设随机变量X,X2,,X.相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差：E(X)=μ，D(X)=2>0(k=1,2,)，则随机变量之和的ZX-EZX,-nμXkk=lk=k=l标准化变量Y.=ngZDXk=l沈阳师范大学

二. 中心极限定理 （独立同分布的中心极限定理） 则随机变量之和的 同一分布 且具有数学期望和方差： 设随机变量 相互独立 服从 ( ) 0 ( 1,2, ), , ( ) , , , , , , 2 1 2    =  = = D X k E X X X X k k n               − =    = = = n k k n k k n k k n D X X E X Y 1 标准化变量 1 1   n X n n k k − = =1 1、林德伯格-列维

的分布函数F.(x）对于任意x满足ZXi-nμk-1lim F,(x)= lim P≤xn>0n>VnoF2 dt = Φ(x)12元上述定理表明当n8o.随机变量序列Y.的分布函数收敛于标准正态分布的分布函数沈阳师范大学

               − = = → → x n X n F x P F x x n k k n n n n   1 lim ( ) lim 的分布函数 ( ) 对于任意 满足 上述定理表明: . , 标准正态分布的分布函数 当 n →  随机变量序列Yn 的分布函数收敛于 − − = = x t e dt (x). 2π 1 2 2 