沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第4章 矩阵的特征值与特征向量

线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量证明必要性设A=（ααz，,α），由于A为正交矩阵，根据定义有ATA=E，即αfarafa,.afan(10..0)a,01..0aar aa..aanaAA=(α.α,..,αn):..(a,aa,a..a,an)00.1α,Mi=j即α,α, =5故α,αz，",α,为一个单位正交向量组0,itj充分性设α,αz，,α,为一个单位正交向量组，则-J1,i=jα,α, =0,ij令A=（α,αz，",α），显然有AA=E，所以A为正交矩阵证毕类似地，也可以证明正交矩阵A的行向量组为单位正交向量组正交矩阵具有如下性质：（1）设A为正交矩阵，则A为可逆矩阵（2）A为正交矩阵AT=A-1（3）设A为正交矩阵，则A=1或一1（4）设A为正交矩阵，则AT，A-都是正交矩阵（5）若A和B都是正交阵，则AB也是正交矩阵上述性质的证明留给读者自己完成例4判断下列矩阵是否为正交矩阵：(100)cosg-sing)010(1)(2)singcosa(010)解（1）第2、3列不是单位向量，故不是正交矩阵-75 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 75 - 证明 必要性 设 A  1 ,2 ,, n  ，由于 A 为正交矩阵，根据定义有 T A A  E ，即   T T T T 1 1 1 1 2 1 T T T T T 2 2 1 2 2 2 1 2 T T T T 1 2 1 0 0 0 1 0 , , , 0 0 1 n n n n n n n n                                                                                  A A 即 T 1,0, i j i j i j         ，故 1 2 , , ,     n 为一个单位正交向量组. 充分性 设 1 2 , , ,     n为一个单位正交向量组，则 T 1,0, i j i j i j         令 A  1 ,2 ,, n  ，显然有 T A A  E ，所以 A 为正交矩阵.证毕. 类似地，也可以证明正交矩阵 A 的行向量组为单位正交向量组. 正交矩阵具有如下性质： （1）设 A 为正交矩阵，则 A 为可逆矩阵. （2） A 为正交矩阵 T 1 =   A A . （3）设 A 为正交矩阵，则 A 1或－1. （4）设 A 为正交矩阵，则 T 1 ,  A A 都是正交矩阵. （5）若 A 和 B 都是正交阵，则 AB 也是正交矩阵. 上述性质的证明留给读者自己完成. 例 4 判断下列矩阵是否为正交矩阵： （1） 1 0 0 0 1 0 0 1 0       （2） cos sin sin cos            解 （1）第 2、3 列不是单位向量，故不是正交矩阵

线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量cos-sine)cos-sinの0(2）由于(sin(sinecosocos0所以是正交矩阵巩固练习：课后小结：-76 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 - 76 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） （2）由于 T cos sin cos sin 1 0 sin cos sin cos 0 1                             所以是正交矩阵. 巩固练习： 课后小结：

线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量授课题目$4.2矩阵的特征值与特征向量第17讲理解特征值与特征向量的概念2.掌握特征值与特征向量的性质1.教学目的2.会求特征值与特征向量教学重点求特征值与特征向量教学难点特征值与特征向量的性质教学手段教学时数教学方法探究-讨论板书与多媒体相结合2学时备注教学过程一、特征值与特征向量的概念定义1设A是n阶矩阵，如果存在非零向量n和数入，使得关系式(1)An=an成立，则称入为A的特征值，非零向量n为矩阵A的属于特征值入的特征向量将（1）式改写为(A-E)n=0其中n0.容易看出，n为齐次线性方程组(2)(A-^E)x=0的非零解，而方程组（2）有非零解的充要条件是A-E|=0若记n阶矩阵A=（a），则[au - ~ai2an.a-元..a21a2nA-E-= 0:::antan2.. am-由行列式的定义知，A-E是一个关于入的n次多项式，在复数范围内有n个根即A有n个特征值.这其中，我们定义：定义2称矩阵A-入E为A的特征矩阵：称入的n次多项式A-入E为A的特征多项式，记为f（a）：称以入为未知元的n次方程A-E=0为A的特征方程-77-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 77 - 授课题目 §4.2 矩阵的特征值与特征向量 第 17 讲 教学目的 1． 理解特征值与特征向量的概念 2.掌握特征值与特征向量的性质 2． 会求特征值与特征向量 教学重点 求特征值与特征向量 教学难点 特征值与特征向量的性质 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 2 学时 教 学 过 程 备注 一、特征值与特征向量的概念 定义 1 设 A 是 n 阶矩阵，如果存在非零向量 和数 ，使得关系式 A   （1） 成立，则称 为 A 的特征值，非零向量 为矩阵 A 的属于特征值  的特征向量. 将（1）式改写为  A E  0 其中  0 .容易看出， 为齐次线性方程组  A E x  0 （2） 的非零解，而方程组（2）有非零解的充要条件是 A E  0 若记 n 阶矩阵 A  aij ，则 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a                 A E 由行列式的定义知， A E 是一个关于  的 n 次多项式，在复数范围内有 n 个根， 即 A 有 n 个特征值.这其中，我们定义： 定义 2 称矩阵 A E 为 A 的特征矩阵；称 的 n 次多项式 A E 为 A 的 特征多项式，记为 f () ；称以  为未知元的 n 次方程 A E  0为 A 的特征方 程

线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量定义3若入为特征方程A-入E=0的k重根，称入为A的k重特征值二、特征值与特征向量的求法上述分析表明，若入是A的特征值，则必有A-入E|=0，即元为特征方程A-E=0的根，此时方程组(A-E)x=0有非零解n，使得(A-E)n=0即An=n.根据定义1可知，n是A的属于特征值的特征向量，由前面的讨论可得出求n阶矩阵A的特征值和特征向量的方法（1）写出矩阵A的特征多项式f()=A-^E；（2）求特征方程A-元E=0的根，由此得到A的特征值（共n个，这其中可能有重复的根，也可能有复数根）；（3）对于每一个特征值元，求解齐次线性方程组（A-1E）x=0的基础解系，从而得到属于特征值入的特征向量.设(A-入E)x=0的一个基础解系为51,52，，5,，则矩阵A的属于特征值入的全部特征向量为k5 +k52+..+k,5,其中k，kz，,k,不全为零（这是因为特征向量是非零向量）由求解过程可以注意到，每个特征向量只能属于唯一的特征值，而许多特征向量可以属于相同的特征值注求特征值就是求一元n次方程的根；求特征向量就是求解相应的齐次线性方程组的非零解21例1求矩阵A=的特征值与特征向量-25解A的特征多项式为[1-元2= 22 - 6α + 9= (α - 3)[A-E|=-25-2所以A的特征值为==3-78 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 - 78 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 定义 3 若 为特征方程 A E  0的 k 重根，称  为 A 的 k 重特征值. 二、特征值与特征向量的求法 上述分析表明，若  是 A 的特征值，则必有 A E  0 ，即  为特征方程 A E  0的根，此时方程组 A E x  0 有非零解 ，使得 A E  0 ， 即 A   .根据定义 1 可知， 是 A 的属于特征值 的特征向量. 由前面的讨论可得出求 n 阶矩阵 A 的特征值和特征向量的方法： （1）写出矩阵 A 的特征多项式 f ()  A E ； （2）求特征方程 A E  0的根，由此得到 A 的特征值（共 n 个，这其中可 能有重复的根，也可能有复数根）； （3）对于每一个特征值 ，求解齐次线性方程组 A E x  0 的基础解系， 从 而 得 到 属 于 特 征 值  的 特 征 向 量 . 设  A E x  0 的 一 个 基 础 解 系 为 1 2 , , ,  r    ，则矩阵 A 的属于特征值  的全部特征向量为 1 1 2 2 r r k   k   k  其中 1 2 , , , r k k  k 不全为零（这是因为特征向量是非零向量）. 由求解过程可以注意到，每个特征向量只能属于唯一的特征值，而许多特征向 量可以属于相同的特征值. 注 求特征值就是求一元 n 次方程的根；求特征向量就是求解相应的齐次线性 方程组的非零解. 例 1 求矩阵 1 2 2 5        A = 的特征值与特征向量. 解 A 的特征多项式为 2 2 1 2 6 9 ( 3) 2 5                 A E 所以 A 的特征值为 1 2     3

线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量解齐次线性方程组（A-3E)x=0，A-3E=(-2 3)-(1 -1)-2 2)(00一个基础解系为17=()于是，属于==3的全部特征向量为kn（k0）( 4-3 -3)-23例2求矩阵A=1的特征值与特征向量(231解A的特征多项式为[4-元-3 -3A-E|=-23-元1=(4- 2)(2-2)213-元所以A的特征值为4==4,M=2对于==4，求解齐次线性方程组（A-4E)x=0，即0-33-3)(x)70-22 -110X2-201-一个基础解系为1n =1于是，属于==4的全部特征向量为kn（k0），对于2=2，求解齐次线性方程组（A-2E)x=0，即702-3-3)(x)-2110X.O21X3-79-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 79 - 解齐次线性方程组(A3E)x  0 ， 2 2 1 1 3 2 2 0 0                  A E = 一个基础解系为 1 1         于是，属于 1 2     3 的全部特征向量为 k （ k  0 ）. 例 2 求矩阵 4 3 3 2 3 1 2 1 3           A 的特征值与特征向量. 解 A 的特征多项式为 2 4 3 3 2 3 1 (4 ) (2 ) 2 1 3                  A E 所以 A 的特征值为 1 2 3     4,  2 对于 1 2     4 ，求解齐次线性方程组 (A 4E)x  0 ，即 1 2 3 0 3 3 0 2 1 1 0 2 1 1 0 x x x                                一个基础解系为 1 1 1 1          于是，属于 1 2     4 的全部特征向量为 1 1 k （ 1 k  0 ）. 对于 3   2，求解齐次线性方程组 (A 2E)x  0 ，即 1 2 3 2 3 3 0 2 1 1 0 2 1 1 0 x x x                             