《数学分析》课程教学课件（讲稿）换元积分法和分部积分法

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§2 换元积分法和分部积分法

一、第一类换元法 问题 ∫cos2 xdx sin2x+C, 解决方法利用复合函数，设置中间变量， 过程 令=2x→=)山， eos2coin+C-sin2x+C. 上页 返回

问题  cos2xdx sin2x  C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t  2x , 2 1  dx  dt  cos2xdx tdt   cos 2 1  sint  C 2 1 sin2 . 2 1  x  C 一、第一类换元法

在一般情况下： 设F'(w)=f(u),则∫f(w)du=F(o+C. 如果u=p(x)(可微) dFlo(x)1=flo(x)lo'(x)d JfIo(x)lo'(x)dx=Flo(x)l+C =f(0dwpw由此可得换元法定理

在一般情况下： 设 F(u)  f (u), 则 ( ) ( ) .  f u du  F u  C 如果 u  (x) （可微）  dF[(x)]  f[(x)](x)dx   f[(x)](x)dx  F[(x)] C    ( ) [ ( ) ] u du u x f  由此可得换元法定理

定理1 设f(W)具有原函数，M=p(x)可导， 则有换元公式 ∫fp(xlp'(x)k=jfωdu=pa 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 ∫g(x)c化为fIφ(x)p'(x)dc. 观察重点不同，所得结论不同， 上页 回

设 f (u)具有原函数，  f[(x)](x)dx    ( ) [ ( ) ] u x f u du  第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将  g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) .  f  x  x dx 观察重点不同，所得结论不同. u  ( x)可导， 则有换元公式 定理1

例1求sin2k. 解（一)∫小sin2c=2Jsin2xa2wy 1 cos2x+C; 解（二）∫sin2xk-2∫sinxcosxdx -2sin xd(sinx)=(sinx)+C; 解（三）∫sin2xk=2∫sinxcosxd -2Jcos.xd(cosx)-(cosx)'+C. 上页

例1 求 sin2 .  xdx 解（一）  sin2xdx   sin2 (2 ) 2 1 xd x cos2 ; 2 1   x  C 解（二）  sin2xdx   2 sin xcos xdx   2 sin xd(sin x) sin  ; 2  x  C 解（三）  sin2xdx   2 sin xcos xdx    2 cos xd(cos x) cos  . 2   x  C