§3一般项级数 由于非正项级数（一般项级数）的收敛性问题 要比正项级数复杂得多，所以本节只对某些特 殊类型级数的收敛性问题进行讨论. 一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 前页 返回
前页 后页 返回 §3 一般项级数 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 返回 由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题 要比正项级数复杂得多, 所以本节只对某些特 殊类型级数的收敛性问题进行讨论. 一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质
一、交错级数 若级数的各项符号正负相间，即 41-42+3-44+.+（-1)+14n+. (I) (um>0,n=1,2,.), 则称为交错级数 定理12.11（莱布尼茨判别法）若交错级数(1)满足： ()数列{u}单调递减； (ii)limu =0, 则级数(1)收敛 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 一、交错级数 1 1 2 3 4 ( 1) (1) n u u u u un ( 0, 1,2, ), u n n 若级数的各项符号正负相间, 即 则称为交错级数. 定理12.11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足: (i) { } ; 数列 单调递减 un (ii) lim 0, n n u 则级数(1)收敛
证考察交错级数(1)的部分和数列{S,它的奇数项 和偶数项分别为 S2m1=41-(42-43)-(42m-2-42m-1 S2m=(41-山2)+(（43-4)+.+(42m-1-42m) 由条件①)，上述两式中各个括号内的数都是非负的， 从而数列{S2m}是递减的，而数列{S2m}是递增的. 又由条件()知道 0<S2m-1-S2m=42m-→0(m-→∞) 从而{[S2mS2m}是一个区间套.由区间套定理，存 前页 返回
前页 后页 返回 证 考察交错级数(1)的部分和数列{Sn },它的奇数项 和偶数项分别为 2 1 1 2 3 2 2 2 1 ( ) ( ), S u u u u u m m m 2 1 2 3 4 2 1 2 ( ) ( ) ( ). S u u u u u u m m m 由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的, 2 1 2 { } { } . 从而数列 是递减的,而数列 是递增的 S S m m 又由条件 知道 (ii) 从而{ [S2m, S2m-1 ] }是一个区间套.由区间套定理,存 2 1 2 2 0 0 ( ), S S u m m m m
在惟一的实数S,使得 lim S2m-=lim S2m=S. m->oo 所以数列{S}收敛，即级数()收敛 推论若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛 级数(1)的余项估计式为 Rn≤4n1 前页 后页 返回
前页 后页 返回 lim lim . 2 1 2 m m m m S S S { } , (1) . 所以数列 Sn 收敛 即级数 收敛 推论 若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为 1 . R u n n 在惟一的实数 S, 使得
例1判别级数(-)”历 的收敛性 n=2 n-1 -(1+x) <0 (x≥2) 2x(x-1)2 故函数Vx 单调递减，.n>4n+1, x-1 n 又limu=lim, =0. 原级数收敛 n->oo ncon-1 前页 后页 返回
前页 后页 返回 例 1 判别级数 2 ( 1) 1 n n n n 的收敛性. 解: 2 (1 ) 1 2 ( 1) x x x x x 0 ( 2) x , 1 x x 故函数 单调递减 1 , n n u u lim lim 1 n n n n u n 又 0. 原级数收敛