第三版前言 华东师范大学数学系编写的（数学分析》上、下册经过国家教委组织的专家 评审，列入“九五”教委级重点教材；并承高等学校数学和力学指导委员会基础数 学教学指导组对教材修订提出具体指导意见，我系数学分析编写组对本书在第 二版使用基础上进行修订. 此次修订前我们广泛征求了各使用院校的意见，召开了使用教材情况的座 谈会，许多具有丰富教学经验的教师对本教材修改提供了许多积极、中肯的意 见.在此基础上，我们在现行数学分析教学大纲的范围内对一些内容进行适当调 整和增删：同时考虑到近代数学分析教材发展潮流，适度地反映这方面的进展情 况，以适应对21世纪新教材的需求 关于实数理论，不少同类教材由小数出发叙述实数理论，这种方式比较容易 理解，并且与中学数学教学衔接得比较紧密，我们在第一章中采用由小数引进实 数的方法，并由此证明确界原理，希望这样处理有利于读者掌握这一实数基本原 理 在单变量徽分学中，除按传统方式由速度和曲线的切线引入导数概念外，同 时也由极值问题引入稳定点概念，并使微分中值定理与其应用结合得更为紧密 积分理论方面，在引入定积分基本概念后，提前出现牛顿一莱布尼茨公式， 这样能较早接触定积分计算，对于可积分条件先作直观描述，并用来证明某些函 数类的可积性，难度较大的可积性三个充要条件放到该章最后一节，可根据需要 选用.根据使用院校意见，反常积分和含参量积分各自独立成章。 二重积分的变量变换公式在较强的条件下，利用格林公式进行证明；一般条 件下的重积分变换公式采用连续模一致逼近的方法导出，对希望了解一般条件 下严格证明的读者可能有益，这个证明放在重积分最后一节 在欧美、俄罗斯数学分析教材中对向量值函数微分学和外微分形式相当重 视，在应用数学中也日见其重要性，在前二版有关内容的基础上，我们使用迭代 法证明反函数定理，并由此证明隐函数定理及求导法，使得相应内容比较容易接 受；外积运用了浅近的解释，使其与重积分变量变换公式相联系.上述两部分内 容以“流形上微积分学初阶”为题构成第二十三章内容，供选学用。 对于加“米”的章节，教学中可灵活选用，也可作为读者进一步阅读的内容或 作为选修课的内容，以使本书适合多种层次的需求
第三版前言 附录I徵积分学简史.由张莫宙教授作了修订，读者可从此附录了解微积 分学发展的线素 附录Ⅱ实数理论.采用戴德金分划由有理数集的分划叙述实数完备性比 较直观、优美，仍是附录的重要组成部分.但用小数讲述实数理论与实用更靠近， 在附录最后添加“无限小数四则运算的定义”与正文相呼应， 附录Ⅲ积分表。 在这次修订中，我们审查了全部习题，适当进行了调整和补充，希望能更好 符合教学的需要】 这次修订由吴良森任主编， 上册第一、二、三、四、七章由宋国栋编写；第五、六章由庞学诚编写：第八、 九、十、十一章由毛羽辉编写，上册由毛羽辉负责编写组织及修改。 下册第十二、十三、十四、十五章由胡善文编写；第十六、十七、十八、二十三 章由吴良森编写：第十九、二十、二十一、二十二章由魏国强编写，下册由魏国强 负责编写组织。 最后由吴良森统一整理.庞学诚、魏国强分别审阅了上、下册的稿件， 程其襄教授、陈昌平教授、张奠宙教授阅读了第二十三章主要内容的初稿 并提出了宝贵的意见，对他们的鼓励和支持深表感谢， 郑英元教授对修订提了许多积极的建议， 高等学校数学和力学指导委员会成员，吉林大学孙善利教授对本书修改提 供了宝贵的意见 陕西师范大学、华南师范大学、南京师范大学、江西师范大学、广西师范大 学、常熟高等专科学校等院校数学系对教材修改也都提出过仔细的意见，在此致 以深切的谢意. 华东理工大学谢国瑞教投和交通大学孙藏荣教授仔细审阅了本书上册的稿 件，高等教育出版社高尚华编审审阅了下册的稿件，提出许多宝贵意见，在此表 示感谢 第三版中还会有许多不足之处，恳切希望读者批评指正 编者 1999年9月
目 录 第一章实数集与函数 S1实数 .1 一实数及其性质.+.1 二绝对值与不等式 .3 S2数集·确界原理 4 区间与邻域. 二有界集·确界原理 5 §3函数概念. 10 函数的定义. 1 函数的表示法.11 三函数的四则运算 11 四复合函数. 12 五反函数.13 六初等函数. 14 §4具有某些特性的函数 16 有界函数. 2 三 奇函数和偶函数 1 四周期函数. .19 第二章数列极限 §1数列极限概念 23 §2收敛数列的性质 .28 S3数列极限存在的条件. .35 第三章函数极限 §1函数极限概念 .42
月录 x趋于∞时函数的极限 42 x趋于x0时函数的极限 4+t*+.0.43 S2函数极限的性质 .48 S3函数极限存在的条件.52 S4两个重要的极限. .56 证明m的上-=1 二 证明m(1+上广=e .56 §5无穷小量与无穷大量 59 无穷小量. 二无穷小量阶的比较.60 三无穷大量. 62 四曲线的渐近线 44*64 第四章函数的连续性 §1连续性概念 一函数在一点的连续性.69 二间断点及其分类 4471 三区间上的连续函数： .72 §2连续函数的性质 .74 连续函数的局部性质. 二 闭区间上连续函数的基本性质.75 三反函数的连续性. 78 四一致连续性. §3初等函数的连续性 44 82 一指数函数的连续性. 二初等函数的连续性. 44483 第五章导数和微分 S1导数的概念 87 导数的定义 .87 二导函数 90 三导数的几何意义.。 S2求导法则. 4495 一导数的四则运算 95
录 二 反函数的导数. .97 三复合函数的导数 .98 四 基本求导法则与公式 101 §3 参变量函数的导数 103 S4高阶导数. 106 S5微分 110 微分的概念. 110 二 微分的运算法则 *.112 高阶徽分. 113 四 微分在近似计算中的应用 .114 第六章微分中值定理及其应用 S1拉格朗日定理和函数的单调性. 119 一罗尔定理与拉格朗日定理 119 单调函数，. 123 §2柯西中值定理和不定式极限. 125 柯西中值定理。 125 二不定式极限 127 S3泰勒公式. .134 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 .134 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 138 在近似计算上的应用. 4*.+.140 §4函数的极值与最大（小）值 .l42 极值判别. 142 二最大值与最小值. .144 §5函数的凸性与拐点 148 S6函数图象的讨论： 154 S7方程的近似解. .155 第七章 实数的完备性 §1关于实数集完备性的基本定理.l61 一区间套定理与柯西收敛准则. 161 二 聚点定理与有限覆羞定理. 163 ·三实数完备性基本定理的等价性 166 S2闭区间上连续函数性质的证明. 168