第十一章反常积分 §2反常积分的收敛判别
第十一章 反常积分 §2 反常积分的收敛判别
一、无穷限的广义积分的审敛法 不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法。 定理1设函数f(x)在区间[a,+o)上连续， 且fx)≥0.若函数F(x)=∫f)t 在a,+oo)上有界，则广义积分∫了(x)dc收敛， 由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理. 回
一、无穷限的广义积分的审敛法 在 上有界，则广义积分 收敛． 且 ．若函数 定理１ 设函数 在区间 上连续， a x a a f x dx f x F x f t dt f x a [ , ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) [ , ) 不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法. 由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．
定理2比较审敛原理)设函数f(x)、g(x)在 区间a,+o)上连续，如果0≤f(x)≤g(x)(a≤ x<+o,并且广8(x)k收敛，则了x) 也收敛；如果0≤g(x)≤f(x)(a≤x<+o),并 且g(x)发散，则了(x)心也发散. 证 设a<b<+o,由0≤fx)≤g(x)及g(x) 收敛，得∫)≤g(x)≤( 即Fb)=fx)在[a,+o)上有上界 上页
且 发散，则 也发散． 也收敛；如果 并 并 且 收敛，则 区 间 上连续，如果 定 理 比较审敛原理 设函数 、 在 a a a a g x dx f x dx g x f x a x x g x dx f x dx a f x g x a f x g x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ), ( ) ( ) [ , ) 0 ( ) ( ) ( 2( ) ( ) ( ) 证 ( ) ( ) ( ) . 0 ( ) ( ) ( ) a b a b a a f x dx g x dx g x dx a b f x g x g x dx 收敛，得 设 ， 由 及 即 F(b) f (x)dx 在[a,) 上有上界． b a
由定理1知∫了(x)c收敛 如果0≤g()≤fx,且∫g(x)发散， 则了x)k必定发散 如果了x)收敛，由第一部分知 g(x)也收，这与假设矛盾。 例如，广文积分恋(a> 当p>1时收敛； 当P≤1时发散. 上页 回
由定理１知 收敛． a f (x)dx ( ) . 0 ( ) ( ), ( ) , 则 必定发散 如 果 且 发 散 a a f x dx g x f x g x dx 也收，这与假设矛盾． 如 果 收敛，由第一部分知 a a g x dx f x dx ( ) ( ) 例如， 当 时发散． 当 时收敛； 广义积分 1 1 ( 0) P p a x dx a p
定理3比较审敛法)设函数f(x)在区间 [a,+o)(a>0)上连续，且f(x)≥0.如果 存在常数M>0及p>1,使得w)s xP (a≤x<+o),则f(x)d收敛；如果存在 常数N>0,使得f)≥X(u≤x<+o, 则f(x)k发散
则 发散． 常 数 ，使得 ， 则 收敛；如果存在 存在常数 及 ，使得 上连续，且 如 果 定 理 比较审敛法１ 设函数 在区间 a a p f x dx a x x N N f x a x f x dx x M M p f x a a f x f x ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ( ) 0 1 ( ) [ , ) ( 0) ( ) 0. 3( ) ( )