第八章 不定积 分 上页 下页 返回
第八章 不 定 积 分
§1不定积分的概念和基本积 分公式 ·原函数和不定积分 ·基本积分公式表 ·不定积分的线性运算法则 上页
§1 不定积分的概念和基本积 分公式 • 原函数和不定积分 • 基本积分公式表 • 不定积分的线性运算法则
一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间I内，可导函数F(x)的 导函数为f(x),即Hx∈I,都有F'(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)d,那么函数F(x)就称为f(x) 或f(x)dx在区间I内原函数 例 (sinx)=cosx sinx是cosx的原函数 (ax=x>0) lnx是在区间(0，+o)内的原函数
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ( 0) 1 ln x x x ln x是 x 1 在区间(0, )内的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F( x)的 即x I ，都有F(x) f (x) 或dF( x) f ( x)dx，那么函数F( x)就称为f (x) 导函数为 f ( x)， 或 f ( x)dx在区间I 内原函数. 一、原函数与不定积分的概念
原函数存在定理： 如果函数f(x)在区间1内连续， 那么在区间I内存在可导函数F(x), 使Vx∈I,都有F'(x)=f(x): 简言之：连续函数一定有原函数， 问题：()原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 例(sinx)=cosx (sinx+C)=cosx (C为任意常数)
原函数存在定理： 如果函数f (x)在区间I 内连续， 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 sin x cos x sin x C cos x （ C 为任意常数） 那么在区间I 内存在可导函数F(x) ， 使x I，都有F(x) f (x). (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
关于原函数的说明： (1)若F'(x)=f(x),则对于任意常数C, F(x)+C都是f(x)的原函数. (2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数， 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 证 ·[F(x)-G(x)]=F'(x)-G'(x) =f(x)-f(x)=0 ·.F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 到回
关于原函数的说明： （1）若 F(x) f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) C都是f (x)的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) G(x) C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) F(x) G(x) f (x) f (x) 0 F(x) G(x) C （ C 为任意常数）