《数学分析》课程教学课件（讲稿）定积分的性质、中值定理

第二节定积分的性质 中值定理 一、基本内容 二、小结思考题 返回

一、基本内容 对定积分的补充规定： (1)当a=b时，∫f(x)dk=0 (2) 当a>b时，∫心fx)=-fx)c. 说明； 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小. 上页 返回

对定积分的补充规定: （1）当a  b时， ( )  0  b a f x dx ； （2）当a  b时，   a b b a f ( x)dx f ( x)dx. 说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小． 一、基本内容

性质1fx)±g(x)ld=f)k±0g(x) 证 fw)±gxd =im∑Lf(5)±g(5:)lAx 2→0 =m2J八5，)Ax±2g△ 0 i=1 =f(x)dk±g(x). (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)

证   b a [ f (x) g(x)]dx i i i n i   f  g x   lim [ ( ) ( )] 1 0    i i n i   f x   lim ( ) 1 0   i i n i  g x   lim ( ) 1 0     b a f (x)dx ( ) .   b a g x dx   b a [ f (x) g(x)]dx  b a f (x)dx  b a g(x)dx . （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1

性质2 f()k=Kf(x)kk为常数. 证 wd=m2时5Ax =g空f5,A=k=2GA, -k["f(x)dx. 回

   b a b a kf ( x)dx k f ( x)dx (k 为常数). 证  b a kf (x)dx i i n i  kf x   lim ( ) 1 0   i i n i  k f x   lim ( ) 1 0   i i n i  k  f x   lim ( ) 1 0   ( ) .   b a k f x dx 性质2

性质3 假设a<c<b f(x)=j后fx)+心f(x) 补充：不论a,b,c的相对位置如何，上式总成立 例若a<b<c, ()d(d+f(de 则fx)=Efx)c-∫fx)c =0fx)+f)& (定积分对于积分区间具有可加性) 上页

 b a f ( x)dx     b c c a f ( x)dx f ( x)dx. 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a  b  c,  c a f (x)dx     c b b a f (x)dx f (x)dx  b a f (x)dx     c b c a f (x)dx f (x)dx ( ) ( ) .     b c c a f x dx f x dx （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3 假设a  c  b