《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）消元法与矩阵的初等变换

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2.1 消元法与矩阵的初等变换

一、消元法解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程 引例 求解线性方程组 2x1-x2-x3+x4=2, x1+x2-2x3+x4=4, 4x1-6x2+2x3-2x4=4, ③÷2 () 3x1+6x2-9x3+7x4=9,④

引例 (1) 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组        + − + = − + − = + − + = − − + = 3 6 9 7 9, 4 6 2 2 4, 2 4, 2 2, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 分析：用消元法解下列方程组的过程．  2

解 X1+X2-2x3+x4=4, ① ①←>② 21-x2-X3+x4=2, ② (1) (B) ③÷2 2x1-3x2+x3-x4=2, 3x1+6x2-9x3+7x4=9,④ x1+x2-2x3+x4=4, ① ②-③ 2x2-2x3+2x4=0 )-20 ② 5x2+53-3x4=-6, ④-3① 3 (B2) 3x2-3x3+4x4=3, ④

解 ( ) (1) B1 ( ) B2   2 1 3 2        + − + = − + − = − − + = + − + = 3 6 9 7 9, 2 3 2, 2 2, 2 4, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 2 − 3 3 − 2 1 4 − 3 1  + − + = ,       1 2 3 4 x x x x 2 4 1 3 4 2 2 2 2 0 x x x 2 3 4 − + = − + − = − , 2 3 4 5 5 3 6 xxx − + = − , 2 3 4 3 3 4 3 xxx

2*2 x1+x2-2x3+4=4, ① x2-x3+x4=0 ② -5x2+5x3-3x4=-6, (B3) 3x2-3x3+4x4=-3, ④ x1+x2-2x3+x4=4, ① ③+52 x2-x3+x4=0, ② (B4) ④-3② 2x4=-6, ③ x4=-3, ④ 上页

3 ( ) B  + − + = ,       1 2 3 4 x x x x 2 4 1 3 4 2 x x x 2 3 4 − + = 0 − + − = − , 2 3 4 5 5 3 6 xxx − + = − , 2 3 4 3 3 4 3 xxx 2 2 1  4 ( ) B  + − + = ,       1 2 3 4 x x x x 2 4 1 3 4 + 5 2 3 2 4 − 3 2 − + = , 2 3 4 x x x 0 = − , 4 2 6 x = − , 4 x 3

X1+x2-2x3+x4=4, ① ③←→④ x3+x4=0, ② (B) ④-2③ =-3 3 0=0, ④ 用“回代”的方法求出解： x1=x3+4 于是解得x2=5+3其中x,为任意取值 x4=-3 上页 区回

5 ( ) B  + − + = ,       1 2 3 4 x x x x 2 4 3  4 4 − 2 3 用“回代”的方法求出解： − + = , 2 3 4 x x x 0 = − , 4 x 3 0 0 = , 1 3 4 2 于是解得      = − = + = + 3 3 4 4 2 3 1 3 x x x x x . 其中x3为任意取值