《数学分析》课程教学课件（讲稿）换元积分法和分部积分

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§2换元积分法和分部积分

王王王王王王王 一、基本内容 问题 ∫xed=? 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数， (uv)=u'v+uv,uv =(uv)-u'v, 王王王王 ∫w&=w-∫t,∫uw=w-∫d 分部积分公式

问题  xe dx  ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u  u(x)和v  v(x)具有连续导数, uv  uv  uv ,  uv uv  uv,    uv dx uv u vdx,       udv uv vdu.     分部积分公式 一、基本内容

例1 求积分∫xcosxdx. 解（一） 令u=c0sx, xdx==dv jms-osx+写 显然，心，y'选择不当，积分更难进行 解（二） u=x,cos xdx=dsinx=dv ∫cos.xdx=-∫xdsin=xsinx-∫sin.cde =xsinx+cosx+C

例1 求积分 cos .  x xdx 解（一） 令 u  cos x, xdx  dx  dv 2 2 1  xcos xdx    xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然， u ,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u  x, cos xdx  d sin x  dv  xcos xdx   xd sin x   xsin x  sin xdx  xsin x  cos x  C

例2 求积分∫x2e. 解 u=x2, e*dx dex-dv, x2ed=x2e-2∫xe*d (再次使用分部积分法)u=x,e'dc=dw =x2e-2(xe'-e)+C. 总结若被积函数是幂函数和正（余）弦函数 或幂函数和指数函数的乘积，就考虑设幂函 数为山，使其降幂一次（假定幂指数是正整数）

例2 求积分 . 2  x e dx x 解 , 2 u  x e dx de dv, x x    x e dx 2 x   x e  xe dx x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x     （再次使用分部积分法） u  x, e dx dv x  总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)

例3 求积分∫xarctan x, 解 令u=arctan x, xdx=d _=dv ∫arctan达-若aretan-∫2 dfarctan 2 x2 2 arctan x- (x-arctan x)+C. 上页 回

例3 求积分 arctan .  x xdx 解 令 u  arctan x , dv x xdx  d  2 2  xarctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x    dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2      dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2       ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x    