第十一章反常积分 §1反常积分概念
第十一章 反常积分 §1 反常积分概念
王王王王王王 一、无穷限的广义积分 定义1设函数f(x)在区间[a,+o)上连续，取 b>a,如果极限im∫心f(x)d存在，则称此极 400 限为函数f(x)在无穷区间[M,+o)上的广义积 分，记作f(x)dc. ∫fx)&=imfx) 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散：
定义 1 设函数 f ( x) 在区间[a, )上连续，取 b a，如果极限 b b a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f ( x) 在无穷区间[a, )上的广义积 分，记作 a f (x)dx. a f (x)dx b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 一、无穷限的广义积分
主主 类似地，设函数f(x)在区间(-o,b]上连续，取 a<b,如果极限lim∫f(x)dc存在，则称此极 限为函数f(x)在无穷区间(-∞，b]上的广义积 分，记作∫”nf(x)dc. ∫fx)&=imf(x)k 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散
类似地，设函数 f ( x) 在区间( ,b] 上连续，取 a b，如果极限 b a a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f ( x) 在无穷区间( ,b] 上的广义积 分，记作 b f (x)dx. b f (x)dx b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散
设函数f(x)在区间(-o,+o)上连续，如果 广义积分。f(x)和f(x)都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数∫(x)在无穷区间 (一oo,+o)上的广义积分，记作f(x)。 ∫f(x)dc=fx)+f)d -lim ()d+im()de 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散
设函数 f ( x) 在区间( , ) 上连续,如 果 广义积分 0 f (x)dx 和 0 f (x)dx 都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数f ( x) 在无穷区间 ( , )上的广义积分，记作 f (x)dx . f (x)dx 0 f (x)dx 0 f (x)dx 0 lim ( ) a a f x dx b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散
例1计家义积分 解 上上+ =m+m心十女 -lim[arctan imarctan =元 到回
例1 计算广义积分 . 1 2 x dx 解 2 1 x dx 0 2 1 x dx 0 2 1 x dx 0 2 1 1 lim a a dx x b b dx x 0 2 1 1 lim 0 lim arctan a a x b b arctan x 0 lim a a lim arctan b b lim arctan . 2 2