§5 换元积分法2
§5 换元积分法2
二、换元公式 定理 假设 (1)f(x)在a,b]上连续； (2)函数x=p(t)在@，B]上是单值的且有连续 导数； (3)当t在区间[a,B]上变化时，x=p(t)的值 在a,b1上变化，且p(a)=a、p(B)=b, 则有∫f(x)c=∫fp()]o'(t)t
定理 假设 （1） f (x)在[a,b]上连续； （2）函数x (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x (t) 的 值 在[a,b]上变化，且( ) a 、( ) b ， 则 有 f x dx f t t dt b a ( ) [( )] ( ) . 一、换元公式
证设F(x)是f(x)的一个原函数， ∫f(x=F(b)-Fa, Φ(t)=F[p(t)小， Φ'(0)= F.&-fx)o'0)=flpo'o dx dt .Φ(t)是f[p(t)小p'(t)的一个原函数. PfLp(0p'(t0t=Φ(B)-Φ(a
证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， f (x)dx F(b) F(a), b a (t) F[(t)], dt dx dx dF (t) f (x)(t) f[(t)](t), [( )]( ) () (), f t t dt (t)是 f [(t)](t)的一个原函数
p(a)=a、p(B)=b, Φ(B)-Φ(a)=FLp(B)】-F[p(a)川 =F(b)-F(@), ∫f(x)=F(b)-F(a)=Φ(B)-Φ(a) -S"flo()Ic(tx. 注意当0>时，换元公式仍成立
( ) a、( ) b, ( ) () F[( )] F[()] F(b) F(a), f (x)dx F(b) F(a) b a ( ) () f[ (t)] (t)dt. 注意 当 时，换元公式仍成立
应用换元公式时应注意： (1)用x=p(t)把变量换成新变量t时，积分限也 相应的改变 (2)求出f[p(t)]p'(t)的一个原函数Φ(t)后，不 必象计算不定积分那样再要把Φ(t)变换成原 变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限 分别代入Φ(t)然后相减就行了
应用换元公式时应注意: （1） 求出 f[(t)](t)的一个原函数(t) 后，不 必象计算不定积分那样再要把(t) 变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了. （2） 用x (t)把变量x 换成新变量t时，积分限也 相应的改变