§5微积分学基本定理1
§5 微积分学基本定理1
一、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度y=v(t)是时 间间隔[T,T2]上t的一个连续函数，且v(t)≥0， 求物体在这段时间内所经过的路程 变速直线运动中路程为∫()山 另一方面这段路程可表示为s(T,)-s(T) )d=sT)-(T).其中s)=0
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 2 1 ( ) T T v t dt 设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是时 间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且v(t) 0， 求物体在这段时间内所经过的路程. 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T s 一、问题的提出 ( ) ( ) ( ). 2 1 2 1 v t dt s T s T T T 其中 s(t) v(t)
二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间a,b]上连续，并且设x 为，b小上的一点，考察定积分 f(x)dx="f(t)dr 如果上限x在区间可，b]上任意变动，则对于 每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以 它在，b]上定义了一个函数， 记Φ(x)=∫f()t. 积分上限函数
设函数 f (x)在区间[a,b] 上连续，并且设x 为[a,b]上的一点， x a f (x)dx 考察定积分 x a f (t)dt 记 ( ) ( ) . x a x f t dt 积分上限函数 如果上限x 在区间[a,b]上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a,b]上定义了一个函数， 二、积分上限函数及其导数
积分上限函数的性质 定理1如果f(x)在4，b上连续，则积分上限的函 数Φ(x)=∫f(t)t在a,b]上具有导数，且它的导 数是()=fh=fx) (a≤x≤b) 证(x+A)=∫+f)t △Φ=Φ(x+△x)-Φ(x) Φ(x) =fut-∫广fh
a b x y o 定理１ 如果f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函 数 x f t dt x a ( ) ( ) 在[a,b]上具有导数，且它的导 数是 ( ) f (t)dt f ( x) dx d x x a (a x b) 积分上限函数的性质 x x 证 x x f t dt x x a ( ) ( ) (x x) (x) f t dt f t dt x a x x a ( ) ( ) (x) x
=f)t+∫ft-f)h =f), 由积分中值定理得 Φ(x) △Φ=f(5)△x5∈[x,x+△xl, 王王王王王 4Φ ()gm A imf5) △x→0,5→x.Φ'(x)=f(x) 回
f t dt f t dt f t dt x a x x x x a ( ) ( ) ( ) ( ) , x x x f t dt 由积分中值定理得 f ( )x [x, x x], x 0, x f ( ), x lim lim ( ) 0 0 f x x x (x) f (x). a b x y o x x (x) x