工王二二二二二二二二王王二 §3几类特殊函数的 不定积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分 上页
§3 几类特殊函数的 不定积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分
一、有理函数的积分 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之 P(x)_ax"+ax”+.+0n-1x+0n 2(x) Boxmmm 其中m、n都是非负整数；ao,41,.,an及 b,b1,.,bm都是实数，并且≠0，b≠0. 上页 返回
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 其中m、n都是非负整数；a a an , , , 0 1 及 b b bm , , , 0 1 都是实数，并且a0 0 ，b0 0. 一、有理函数的积分
假定分子与分母之间没有公因式 (1) n<m,这有理函数是真分式： (2) n≥m,这有理函数是假分式； 利用多项式除法，假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 x3+x+1-41 x2+1 =x+x+ 难点将有理函数化为部分分式之和
假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 1 1 2 3 x x x . 1 1 2 x x 难点 将有理函数化为部分分式之和
有理函数化为部分分式之和的一般规律： (1)分母中若有因式(x-),则分解后为 A 其中A1,A2,A都是常数 特殊场：太=山分解后为x。 上页 回
（1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x a) , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中A A Ak , , , 1 2 都是常数. 特殊地： k 1, 分解后为 ; x a A
(2)分母中若有因式(x2+px+q),其中 p2-4q<0则分解后为 Mix+N M2x+N2 +x+(x2+p匹++2+2 其中M,N都是常数(i=1,2,.,k). Mx+N 特殊地：k=1,分解后为x2+Px+g
（2）分母中若有因式 ，其中 k (x px q) 2 4 0 则分解后为 2 p q x px q M x N x px q M x N x px q M x N k k k k 2 1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 其中Mi Ni , 都是常数(i 1,2, ,k). 特殊地： k 1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N