江画工太猩院 (2)当.1 4、>1,→1+x<, 即-2<x<0时,原级数发散 (3)当+x=1,→x=0或x=-2 当x=0时,级数∑收敛; 当x=-2时,级数∑发散; m: 故级数的收敛域为(-0,2)∪[0+∞)
江西理工大学理学院 1, 1 1 (2) > + x 当 ⇒ 1+ x < 1, 即− 2 < x < 0时, 原级数发散. 当 x = 0时, ∑ ∞ = − 1 ( 1) n n n 级数 收敛; 当 x = −2时, ∑ ∞ =1 1 n n 级数 发散; 故级数的收敛域为 (−∞,−2)∪[0,+∞). (3) 当|1+ x |= 1, ⇒ x = 0或x = −2
江画工太猩院 二、幂级数及其收敛性 1定义:形如∑a(x-x)的级数称为幂级数 当xn=0时,∑a1x",其中a,为幂级数系数 n=0 2.收敛性: 例如级数∑x2=1+x+x2+… 当x<时,收敛;当x≥时,发散; 收敛域(-1);发散域(-∞,-1J1,+0);
江西理工大学理学院 二、幂级数及其收敛性 1.定义: 形如 n n n a ( x x ) 0 ∑ 0 ∞ = − 的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n x ∑ a n x ∞ = 当 = 时 其中 n a 为幂级数系数 . 2.收敛性: 1 , 2 0 ∑ = + + + L ∞ = x x x n 例如级数 n 当 x < 1 时 ,收敛 ; 当 x ≥ 1 时 , 发散 ; 收敛域 ( − 1 , 1); 发散域 ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , + ∞);
江画工太猩院 定理1(Abe|定理) 如果级数∑ax“在x=x1(xn≠O处收敛则 n=0 它在满足不等式x<x0的一切x处绝对收敛 如果级数∑ax“在x=x处发散则它在满足 n1=0 不等式x>xo的一切x处发散 证明():∑anx"收敛, limax =0. →0 n-=0
江西理工大学理学院 定理 1 (Abel 定理) 如果级数 ∑ ∞ n = 0 n n a x 在 ( 0 ) x = x 0 x 0 ≠ 处收敛,则 它在满足不等式 x < x 0 的一切 x处绝对收敛; 如果级数 ∑ ∞ n = 0 n a n x 在 x = x 0处发散,则它在满足 不等式 x > x 0 的一切 x处发散. 证明 lim 0 , ∴ 0 = → ∞ n n n ( 1 ) , a x 0 ∑ 0 收敛 ∞ n = n n Q a x
江画猩工式塑辱院 M,使得xsM( n n n ax=a =anxn.≤M n n-0 n n 0 当<时,等比级数∑M收敛 n=00 ∑ax"收敛,即级数∑a1x收敛
江西理工大学理学院 ( 0,1,2, ) a x0 ≤ M n = L n 使得 n ∃ M , n n n n n n x x a x a x 0 0 = ⋅ n n n x x a x 0 0 = ⋅ n x x M 0 ≤ 1 , 0 当 < 时 x x Q , 0 0 等比级数 收敛 n n x x ∑ M∞ = , 0 ∑ 收敛 ∞ = ∴ n n an x ; 0 即级数∑ 收敛 ∞ n= n an x
江画工太猩院 (2)假设当x=x时发散, 而有一点x适合x1>x0使级数收敛, 由()结论则级数当x=x时应收敛, 这与所设矛盾. 几何说明 收敛区域 x 发散区域-R0R发散区域
江西理工大学理学院 (2) , 假设当x = x0时发散 而有一点x1适合 1 0 x > x 使级数收敛, 则级数当x = x0时应收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 x o • • • • • • • • • • • − R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域