第五节反常积分的审敛法I函数无穷限的反常积分反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法
二、无界函数反常积分的审敛法 反常积分 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 一、无穷限反常积分的审敛法 第五节 反常积分的审敛法 函数
无穷限的反常积分的审敛法一、不通过被积函数的原函数判定反常积分收敛性的判定方法定理 1设函数 f(x)在区间[a,+oo)上连续且 f(x)≥0. 若函数 F(x)=[ (t)dt(f(x)dx收敛在[a,+o)上有界，则反常积分由定理1，对于非负函数的无穷限的反常积分有以下比较收敛原理
一、无穷限的反常积分的审敛法 ( ) [ , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ) ( ) x a a f x a f x F x f t dt a f x dx + + = + 定理１ 设函数 在区间 上连续， 且 ．若函数 在 上有界，则反常积分 收敛． 不通过被积函数的原函数判定反常积分收 敛性的判定方法. 由定理1，对于非负函数的无穷限的反常积 分有以下比较收敛原理．
定理2（比较审敛原理）设函数 f(x)、g(x)在区间a,+oo)上连续，如果0≤f(x)≤g(x)(a≤x< +o0),并且(g(x)dx收敛，则μf(x)dx也收敛；如果0≤g(x)≤f(x)(a≤x<+o0),并且(g(x)dx发散，则((x)dx也发散,+8证 设a<b<+0，由0≤f(x)≤g(x)及g(x)dx-8I'f(x)dx≤f'g(x)dx≤ ftg(x)dx.收敛，得即 F(b) = [" f(x)dx 在[a,+) 上有上界
且 发散，则 也发散． 也收敛；如果 并 并 且 收敛，则 区 间 上连续，如果 定 理 比较审敛原理 设函数 、 在 + + + + + + + a a a a g x dx f x dx g x f x a x x g x dx f x dx a f x g x a f x g x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ), ( ) ( ) [ , ) 0 ( ) ( ) ( 2( ) ( ) ( ) 证 ( ) ( ) ( ) . 0 ( ) ( ) ( ) + + + a b a b a a f x dx g x dx g x dx a b f x g x g x dx 收敛，得 设 ， 由 及 即 F(b) = f (x)dx 在[a,+) 上有上界． b a
由定理1知(f(x)dx 收敛如果 0 ≤ g(x)≤ f(x),且 ( g(x)dx发散则[f(x)dx必定发散·如果,f(x)dx 收敛，由第一部分知p+8g(x)dx也收，这与假设矛盾当p>1时收敛；Todr例如，反常积分(a> 0)tp0当P≤1时发散
由定理１知 收敛． + a f (x)dx ( ) . 0 ( ) ( ), ( ) , 则 必定发散 如 果 且 发 散 + + a a f x dx g x f x g x dx 也收，这与假设矛盾． 如 果 收敛，由第一部分知 + + a a g x dx f x dx ( ) ( ) 例如， 1 ( 0) 1 p a dx p a x P + 当 时收敛； 反常积分 当 时发散．
定理3(比较审敛法 1)设函数f(x)在区间[a,+oo)(a>0)上连续，且f(x)≥0. 如果M存在常数 M>0及 p>1,使得 f(x)≤rp(a≤x<+o0),则 (~ f(x)dx收敛；如果存在N常数N>0，使得f(x)≥一(a≤x<+0)-x则 [t° f(x)dx发散
则 发散． 常 数 ，使得 ， 则 收敛；如果存在 存在常数 及 ，使得 上连续，且 如 果 定 理 比较审敛法１ 设函数 在区间 + + + + + a a p f x dx a x x N N f x a x f x dx x M M p f x a a f x f x ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ( ) 0 1 ( ) [ , ) ( 0) ( ) 0. 3( ) ( )