(後只人季 由例2知 W1+w. 2 (y1,y2,…,ym,a1,a2,…,an1-m,B1,B2…,Bn2n 作线性组合 c1y1+…+cmYm+a1a1+…+an1-mCn1-m +b161+…+bn2-mn2-m=0 a=c1y1+…+cmYm+a1m1+…+an1-mn1-m b1B1 bna-mB 由()第一个等式知a∈W1,由第二个等式知a∈W2 故a∈W1∩W2
(後只人季 因此,a可经y1,y2…,ym线性表示,则有 a=l1y1+l2y2+…+lmy 于是得到 l1y1+…+hmYm+b1阝1+…+bn2-mBn2-m=0 由于y1,y2…,YmB1,B2,…,月n2-m线性无关,即得 1 lm= b 1=…二 n2-m 0 从而有 C1y1+…+Cmym+a1c1+…+nh!m0 又因y1,y2 …,m a1,a2,…,an1-m线性无关,则有 1 1 1 1 12 0
(後只人季 所以向量组y1,y2,…,Ym,1,a2…,an1-m,B1,B2, ,βn,-m线性无关 有定理44知,W1+W2的维数是 m+(11-m)+(n2-m)=n1+n2-m 于是就有 dim(W1+w2) dimW1+ dimW2 -dim(w1n W2) 从而证明了 dimW1+ dimW2 dim( W1+W2)+dim(winw2
(後只人季 例3求L(a1,a2),L(B1,B2)的交与和的基及 维数,其中 a1=[1,2,1,0,a2=[-1,1,1,1]T β1=[2,-10,1,B2=[1,-1,3,7 解:将向量a1,a2,B1,2写成如下矩阵形式 并作初等变换得 121 1 1210 103 1000 104 013 117
(後只人季 这表明a1,a2,B1是线性无关的而a1,a2,B1,B2是线性 相关的并且 阝2=-a1+4a2+3B1(*) 由于L(a1,a2)+L(B1,B2)=L(a1,a2,B1B2) 故a1,a2,B1是L(a1,a2)+L(B1,B2)的一个基,于是它 是3维子空间 因为a1,a2线性无关,β1,B2也是线性无关,故 dim(a1, a2)=2, dim(B1,B2)=2 L(a1,a2)∩L(B1,B2)=1 由(*)式得 =31-B2=a1-4a2 故η=[5,-2,-3,-4]就可作为L(a1,a2)∩L(阝1,B2) 的一个基