线性代数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程条 光华楼东主楼1109Te:65100226 liu@fudan.edu.cn
线 性 代 数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn
第四章线性空间与欧氏空间 、线性空间的定义 区设V是一个非空集合,如果它的任意元素: (1)对加法与数量乘法两种运算封闭; (2)满足以下8种运算规律(公理) (1)a+B=B+a(2)(+B)+y=a+(B+y) (3)a+0=a (4)a+(-a)=0 ()k(a+B)=ka+ kB (6)(k+l) a=ka+ la (7(kla=k(la) (8)I·a=a
第四章 线性空间与欧氏空间 一、线性空间的定义 设 V 是一个非空集合，如果它的任意元素： (1) 对加法与数量乘法两种运算封闭； (2) 满足以下 8 种 运算规律(公理) (1) + ＝ + (2) ( + ) + ＝ + ( + ) (3) + 0 ＝ (4) + (－ ) ＝ 0 (5) k ( + ) ＝ k + k (6) ( k + l ) = k + l (7) ( k l ) = k ( l ) (8) 1· =
1.凡满足以上八条运算规律的加法及数乘运算, 称为线性运算 2.判别线性空间的方法:一个集合,它如果 对于加法及数乘运算不封闭(不满足闭包性) 或者,不满足八条运算性质的任一条 则不能构成线性空间. 人们经常把线性空间称为向量空间 把线性空间中的元素称为向量
2 ．判别线性空间的方法：一个集合，它如果 1． 凡满足以上八条运算规律的加法及数乘运算， 称为线性运算． ➢ 对于加法及数乘运算不封闭(不满足闭包性)； ➢ 或者，不满足八条运算性质的任一条； 则不能构成线性空间． ➢ 人们经常把线性空间称为向量空间 ➢ 把线性空间中的元素称为向量
子空间的概念(线性空间局部与整体的关系) 区_定义4,2:设W是数域P上线性空间V的 一个子集,若满足条件: (1)W是非空的; (2)如果a,β∈W,则a+β∈W; (3)如果a∈W,λ∈P则a∈W; 那么W是V的一个子空间
二、子空间的概念 (线性空间局部与整体的关系) 定义 4.2: 设 W 是数域 P 上线性空间 V 的 一个子集，若满足条件： (1) W 是非空的； (2) 如果α，β∈ W， 则α+β∈ W； (3) 如果α∈ W， λ∈ P 则 λα∈ W； 那么 W 是 V 的一个子空间
●生成元(子空间自成体系) >设a,a2.n是数域P上线性空间V中的一组向量, 考虑这组向量所有可能的线性组合所组成的集合 >是V的一个子空间,称它为部a2-n生的 1+2a2+…+a1(x∈P,i=1,2, 张成的子空间( generated/ spanned by…),记为: L(C1,a2…1)={∑a|4∈P 或 Span(a1a2…a1)=∑1∈P 向量组a1a2,an称为此子空间的生成元( generator
⚫ 生成元 (子空间自成体系) ➢ 设α1, α2, ..., αn 是数域 P 上线性空间 V 中的一组向量， 考虑这组向量所有可能的线性组合所组成的集合 ( , 1,2, , ) 1 1 2 2 P i l + ++ l l i = ➢ 是V的一个子空间，称它为由α1, α2, ..., αn 生成/ 张成的子空间 (generated/spanned by …) ，记为： = = L i P l i l i i 1 1 2 ( , ,, ) ➢ 向量组α1, α2, ..., αn 称为此子空间的生成元 (generator). = = i P l i l i i 1 1 2 或 Span( , ,, )