线性代数 Linear Algebra 刘鹧 复旦大学通信科学与工程条 光华楼东主楼1109Te:65100226 liu@fudan.edu.cn
线 性 代 数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn
第四章线性空间与欧氏空间 加法和数乘运算在很多数学、物理和工程领域中 都广泛使用。而且,这两种运算通常都遵循统一 的代数法则: >例如加法的交换律、结合律,数乘的分配率等等 >这种运算和相关的定理可以归纳为一套数学系统,即 所谓线性空间或向量空间的理论 空间( space是现代数学最基本的概念之一。 (赋范线性空间、巴那赫空间、内积空间、希尔伯 特空间… 线性空间是最基础,也是应有最广泛的空间;同时, 也是线性代数最基本的概念之一
第四章 线性空间与欧氏空间 ➢ 例如加法的交换律、结合律，数乘的分配率等等. ➢ 加法和数乘运算在很多数学、物理和工程领域中 都广泛使用。而且，这两种运算通常都遵循统一 的代数法则： ➢ 这种运算和相关的定理可以归纳为一套数学系统，即 所谓线性空间或向量空间的理论. ➢ 线性空间是最基础，也是应有最广泛的空间；同时， 也是线性代数最基本的概念之一。 ➢ 空间(space) 是现代数学最基本的概念之一。 (赋范线性空间、巴那赫空间、内积空间、希尔伯 特空间…)
同学们熟悉的是我们生活的三维空间:点、距离、 运动… (对象)集合+变换(运动) 在一定意义下,线性代数就是研究线性空间和线 性变换的学科.(比如:矩阵×向量一向量的运动) >因此,线性空间是对事物特征的抽象一把实际问 题看(抽象作向量空间, >进而,通过研究向量空间来解决更广泛的 实际问题
➢ 在一定意义下， 线性代数就是研究线性空间和线 性变换的学科...(比如：矩阵╳ 向量 —向量的运动) ➢ 因此，线性空间是对事物特征的抽象 —把实际问 题看(抽象)作向量空间， ➢ 同学们熟悉的是我们生活的三维空间: 点、距离、 运动… —— (对象)集合+变换 (运动) ➢ 进而，通过研究向量空间来解决更广泛的 实际问题．
§4.1线性空间的概念 、线性空间的定义 我们已熟知向量的运算规律 设a、B、y是n元向量(例如n=2), k、I是数域P中任意的数 (1)a+B=B+a加法交换津 (2)(a+B)+y=a+(B+y)加法结合律 (3)a+0=a 粵向量 (4)a+(-a)=0负向量 (5)k(a+B)=ka+k数量乘法和加法
我们已熟知向量的运算规律 §4.1 线性空间的概念 设 、 、 是 n 元 向 量 ( 例 如 n=2) ， k、l 是数域 P 中任意的数 (1) + ＝ + 加法交换律 (2) ( + ) + ＝ + ( + ) 加法结合律 (3) + 0 ＝ 零向量 (4) + (－ ) ＝ 0 负向量 一、线性空间的定义 (5) k ( + ) ＝ k + k 数量乘法和加法
(6)(k+l)a=ka+lo数量乘法和加法 (7)(kb)a=k(la)数量乘法 (8)I·a=a 数量乘法 向量对数乘和加法两种基本运算是封闭的, 例如二维、三维几何空间中的向量 即n元向量运算之后的结果仍是n元向量 满足上述8条运算定律的数学对象还有很多, 例如:实数、复数、矩阵, 我们这类对象的共同属性抽象出来一线性空间 自然数与整数不满足
(6) ( k + l ) = k + l 数量乘法和加法 (7) ( k l ) = k ( l ) 数量乘法 (8) 1· = 数量乘法 ➢ 向量对数乘和加法两种基本运算是封闭的， 例如二维、三维几何空间中的向量. ➢ 满足上述8条运算定律的数学对象还有很多， 例如： 实数、复数、矩阵，... ➢ 我们这类对象的共同属性抽象出来 — 线性空间 ➢ 即n元向量运算之后的结果仍是 n 元向量. ➢ 自然数与整数不满足