(後只人季 23可逆矩阵
2.3 可逆矩阵
(後只人季 可逆矩阵的定义及可逆充要条件 定义29:设A为阶n方阵,若存在n阶方阵B,使 AB=BA=E 则称A是可逆矩阵,并称B为A的逆矩阵,记为A,即B=A 如果矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的。若设B和C都 是A的逆矩阵,则有 AB= BA=E, AC=CA=E, B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C
可逆矩阵的定义及可逆充要条件 1 A − ,即 1 B A− = AB BA E AC CA E = = = = , , B BE B AC BA C EC C = = = = = ( ) ( )
(後只人季 定义2.10:设A为矩阵A=anl的行列式4中元 素a的代数余子式,则称 1 nI A12A2 为A的伴随矩阵,记为A*或者adjA 由于∑akAk=∑a4 0i≠ A A*A=AA= =AE
11 21 1 12 22 2 1 2 * n n n n nn A A A A A A A A A A = 1 1 0 n n ik jk ki kj k k A i j a A a A = = i j = = = 由于 | | | | * * | | | | A A A A AA A E A = = =
(後只人季 定理22:方阵A可逆的充要条件是AB0,并且 A 证明:必要性:已知A可逆,所以有AA1=E,因此 A4|=AA4HE=1≠0 故知4H=0 充分性: A=E 故A可逆,且A1= A
定理2.2:方阵A可逆的充要条件是|A|≠0，并且 1 * | | A A A − = 1 1 | | | || | | | 1 0 AA A A E − − = = = 故知 |A|≠0. 充分性： * * | | | | A A A A E A A = = * 1 | | A A A − =
(後只人季 推论:若A、B均为η阶方阵,若AB=E,则A,B均可逆, 且A1=B,B-1=A 证明:由AB=E,得|A||B=1≠0,必有A≠ AB|≠0 A=AE=A(AB)=(A)B=B B=EB=(AB)B=A(88)=4
1 1 1 1 A A E A AB A A B B ( ) ( ) − − − − = = = = 1 1 1 1 B EB AB B A BB A ( ) ( ) − − − − = = = =