线性代数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程糸 光华楼东主楼1109Tel:65100226 liu@fudan.edu.cn
线 性 代 数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn
问题:非齐次线性方程组AX=b的所有解向量 是否构成R上的线性空间? 否,因为对线性运算不封闭: >设X1X1是解向量,则 A=b AX=b 但A(X1+X2)=AX1+AX2=2b≠b 对加法运算不封闭,因此不能构成Rn上的 线性空间
问题：非齐次线性方程组 AX=b 的所有解向量 是否构成 Rn 上的线性空间？ ➢ 否，因为对线性运算不封闭： ➢ 设 X1 X1 是解向量，则 A X1 = b , A X2 = b 但 A（X1 + X2 ）= A X1 + A X2 = 2b b ➢ 对加法运算不封闭，因此不能构成 Rn 上的 线性空间
、过渡矩阵与坐标变换公式 区定义4,6:设s12,…,En和ε'1,2,…,E'n是n 维线性空间ⅴ中的两个基,且有: 1>c2 则称矩阵M为由基E1,a2,…,En到基 ,c'2,…,eln的过渡矩阵 transition matrix) E1=m11+m21E2+…+mnEn 12 2=m1281+m2E2+…+mn26nM=/m2…m2n E=m,E1+m2,E2+…+mnE nnn×n
三、过渡矩阵与坐标变换公式 定义 4.6: 设 ε1 , ε2 , ..., εn 和 ε' 1 , ε' 2 , ..., ε' n 是 n 维线性空间 V 中的两个基，且有： [ ' 1 , ' 2 , , ' n ] =[ 1 , 2 , , n ]M 则称矩阵 M 为由基ε1 , ε2 , ..., εn 到 基 ε' 1 , ε' 2 , ..., ε' n 的过渡矩阵(transition matrix). = + + + = + + + = + + + n n n n n n n n n n m m m m m m m m m 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 ' ' ' = n n nn n n n n M m m m m m m m m m 1 2 21 22 2 11 12 1
区定理4,3:设E'1,E2,…,E'n和 l2…8 是n维线性空间V中的两个基,且有: ,En]=[E1,E2…,En] 则(1)过渡矩阵M是可逆的; (2)若a∈V,且在基ε1,a2,…,n和 e'1,E'2,…,'n下的坐标分别为x1,x2, 和 x1,x2…,x2nT,则有x x2(25)
定理 4.3: 设 ε' 1 , ε' 2 , ..., ε' n 和ε1 , ε2 , ..., εn 是 n 维线性空间 V 中的两个基，且有： 则 [ ' 1 , ' 2 , , ' n ] =[ 1 , 2 , , n ] M (1) 过渡矩阵 M 是可逆的； (2) 若 α∈V，且在基 ε1 , ε2 , ..., εn 和 ε' 1 , ε' 2 , ..., ε' n 下的坐标分别为 [x1,x2,...,xn ] T 和 [x'1,x'2,...,x'n ] T ，则有 (2.5) ' ' ' 2 1 2 1 = n n x x x M x x x
四、线性子空间的维数与基 基维数/坐标等概念也可以应用到线性子空间 定理4,4:设a1,a2,…,1与B1,B2,…,B 是线性空间V中的两个向量组。 (1)L(a1a2,…,a1)=L(B1,B2,…,Bs) 的充分必要条件是a1,a2,…,a与 β1,B2,…,B,等价; (2)L(a,a2,…,a1)的维数等于向量组 1, 的秩
四、线性子空间的维数与基 ➢ 基/维数/坐标等概念也可以应用到线性子空间． 定理 4.4: 设α1, α2 , ... , αl 与 β1 , β2 , ... , βs 是线性空间 V 中的两个向量组。 (1) L(α1, α2 , ... , αl ) = L(β1 , β2 , ... , βs ) 的充分必要条件是α1, α2 , ... , αl 与 β1 , β2 , ... , βs 等价; (2) L(α1, α2 , ... , αl ) 的维数等于向量组 α1, α2 , ... , αl 的秩