(後只人季 33n元向量的线性关系
3.3 n元向量的线性关系
线性组合和等价向量组 定义3.1n个数组成的有序数(a1,a2…an)称为 n元向量,其中a称为这n元向量的第个分量, 常用a或B表示n元向量。 n元列向量(常用): n元行向量:
一 .线性组合和等价向量组 定义3.1 n 个数组成的有序数 称为 n 元向量，其中 称为这n 元向量的第i个分量， 常用 或 表示n 元向量。 1 2 ( , , , ) n a a a i a 1 2 ( , , , ) T n = a a a 1 2 n a a a = n 元列向量（常用）： n 元行向量：
定义32两个n元向量: 2 a B 当他们各个分量对应相等时, 即a1=b2i=1,2,…,n,则称 bn)与B相等,记做a=B 定义32设n元向量a与β,k为数,则n元向量 +6 +b an+b,丿(kon称为c与β的和,k与&的数量乘积 ·通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算
1 2 , n a a a = 1 2 n b b b = 定义3.2 两个n 元向量： 当他们各个分量对应相等时， 即 则称 与 相等，记做 1 2 a b i n = = , 1,2, , , = . 定义3.2 设n 元向量 与 ，k为数，则n 元向量 1 1 2 2 , n n a b a b a b + + + 1 2 n ka ka ka 称为 与 的和， k与 的数量乘积。 • 通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算
定义33设一组向量B31,O2…,n,若存在一组 数k,k2…,kn,使 B=ka1+k2a2+…+knOn 则称β是向量组ax1,O2…mn的线性组合,或称β 可以由向量组C1,O2,…Cm线性表示。 (1)零向量0=(0,0…0)可以经任意向量组线性表示。 (2)任一n元向量a=(a12a2…an)可以经由n元向 量组e1=(1,02…,0),…en7=(0,0,…,1)线性表 示式:=C1e1+2e2+…"nen 向量是矩阵A各列向量a12Q2…Mm的线性组 合的两个充要条件: 线性方程组AX=β相容。 矩阵(a1,2…,On)的秩与矩阵(x12C2…,Cmn2B)相 同。且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出
定义3.3 设一组向量 ，若存在一组 数 ，使 1 2 , , , , m 1 2 , , , m k k k 1 1 2 2 m m = + + + k k k 则称 是向量组 的线性组合，或称 可以由向量组 线性表示。 1 2 , , , m 1 2 , , , m (1).零向量 可以经任意向量组线性表示。 (2).任一n 元向量 可以经由n 元向 量组 线性表 示式： 0 (0,0, 0)T = 1 2 ( , , , ) T = a a an 1 (1,0, ,0) , (0,0, ,1) T T T T n e e = = 1 1 2 2 . n n = + + e e e • 向量 是矩阵A各列向量 的线性组 合的两个充要条件： • 线性方程组 相容。 • 矩阵 的秩与矩阵 相 同。且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出。 1 2 , , , m AX = 1 2 ( , , , ) m 1 2 ( , , , , ) m
例1已知向量a1=(10,2,1),a2=(1,0,2,1), a3=(2,1,3。0)2,a4=(2,5,-1,4),试问a4可否经向 量组Cx1,C2,C3线性表示。 解记A=(G,2,3),A=(x1,a2,a3,a4) 1122 0215R3-2R A 203-1R-R 000 2-1-5 0-22 R+凡、0215凡凡交/11 122 0215 记 -1/2R40000 B 00 001-1 0000
例1 已知向量 试问 可否经向 量组 线性表示。 1 2 (1,0,2,1) , (1,0,2,1) , T T = = 3 4 (2,1,3,0) , (2,5, 1,4) , T T = = − 4 1 2 3 , , 解 记 1 2 3 1 2 3 4 A A = = ( , , ), ( , , , ). 1 1 2 2 0 2 1 5 2 0 3 1 1 1 0 4 A = − 3 1 R R − 2 R R 4 1 − R R 3 2 + 4 −1/ 2R 3 4 R R, 交换 1 1 2 2 0 2 1 5 0 2 1 5 0 0 2 2 − − − − 1 1 2 2 0 2 1 5 0 0 0 0 0 0 1 1 − 1 1 2 2 0 2 1 5 0 0 1 1 0 0 0 0 − 记 B