(後只人季 41线性空间的概念
4.1 线性空间的概念
(後只人季 、线性空间定义 定义4.1设V是一个非空集合,P是一个数域,如果以 下三个条件被满足,则称非空集合V为数域P上的 个线性空间 (I)在V的元素之间给出一个对应法则,称为加法, 使V中任意两个元素a与β在V中都有唯一确定的一个 元素y与它们对应,称为a与B的和,记为a+β=y (Ⅱ)在P与V的元素之间给出一个对应法则,称为乘 法,使数域P中任一数k与V中任一元素a,在V中都有 唯一确定的一个元素δ与它们对应,称为k与a的数量 乘积,记为δ=ka (Ⅲ)对于给定的加法与数量乘法两种运算满足以下运 算规律:
一、线性空间定义
(後只人季 定义4.1 (1)加法交换律a+β=β+a; (2)加法结合律(a+B)+y=a+(B+y (3)在V中存在零元,记为0,它对于V中任意一个元 素a,都有a+0=a (4)对于V中每一个元素a,在V中存在相应的负元, 记为(-a),使得a+(-a)=0; (5)k(a+β)=ka+k6; (6(k+Da=ka+la (7)k(la)=(kD)a; (8)1·a=a. 其中a,B,y等为V中的任意元素,k,l为数域P中的任意 数
(後只人季 例1数域P上的全部n元向量所组成的集合 按n元向量的加法与数量乘法构成数域P上 的一个线性空间,记为P,称为n元向量空 特别地,当P是实数域R时,R3就是几何空间
(後只人季 例2数域P上m×n矩阵的全体所组成的集 合,按矩阵的加法与数量乘法构成数域P上 的一个线性空间,记为Pmxn。 当P=R时,得Rmx