(後只人季 43欧几里得空间
4.3 欧几里得空间
()後大手 欧氏空间的定义及其基本性质 欧氏空间上的内积的定义 定义4.7设V是实数域R上的一个线性空间,如果对 于V中任意两个向量a与β都有一个唯一的确定的实 数(用(a,B来表示)与它对应,且具有下列性质 (1)(a,B)=(,a); (2)(La,B)=λ(,B); (3)(a+β,y)=(a,y)+(,y) (4)(a,a)≥0,当且仅当a=0时(a,a)=0 这里a,B,y∈v,λ∈R,则称(a,B)为a与B的内积, 引入内积后的线性空间V称为欧几里得( Euclid)空间, 简称欧氏空间
一、欧氏空间的定义及其基本性质
(後只人季 例1在几何空间中规定内积为 (a,B)=a‖β‖cos a,β为几何空间向量 la‖,‖β‖表示向量长度 0为它们的夹角 这样规定的内积满足定义中的四个条件, 因此几何空间是一个欧氏空间
(後只人季 例2在线性空间Rn中,对于向量 1u2 n],B=[b1,b2,…,bn]1 常用如下的内积定义: (a,B)=a1b1+a2b2+…+anbn=aβ ·显然,这样规定的内积也满足定义47中的 四个条件,因而R构成一个欧氏空间
(後只人季 例3在线性空间C[ab]中,对于任意的两个 实函数f(x),g(x)∈C[a,b],定义内积 (,g= f(x)g(x)dx 则Ca,b]能够成一个欧氏空间