线性代数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程糸 光华楼东主楼1109Te:65100226 liu@fudan.edu.cn
线 性 代 数 Linear Algebra Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn
§1.5克莱姆法则 ●主要应用:n元线性方程组的求解 aux,+a2x2+.+a,nx=b 对于n元线性方程组 a21x1+a2x2+.+a2mxn=b, ax, taxt.ta x=b 由其系数组成的n阶行列式称为方程组的系数行列式 瑞士数学家克莱姆(G. Cramer,1750) ,在其著作《线性代数分析导引》 中阐述:
§ 1.5 克莱姆法则 z 主要应用： n 元线性方程组的求解 对于 n 元线性方程组 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b L L L L L L L L L 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 由其系数组成的 n 阶行列式称为方程组的 阶行列式称为方程组的系数行列式 n n nn n n a a a a a a a a a A L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 12 1 = 瑞士数学家克莱姆 瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer G.Cramer, 1750) , 1750) ，在其著作《线性代数分析导引 线性代数分析导引》 中阐述：
定理1.5:(克莱姆法则)若n阶线性方程组的系数行列 式|A|≠0,则它有惟一解 DX 其中|A(j=1,2,…,n)是将|A|中的第j列换成 常数列b1,b2,…,bn所得到的n阶行列式 12 表述-简洁自然 2 行列式与方程组解 的关系:存在性、唯 11 1,j+1 性 nl·a n,j-1
定理1.5: (克莱姆法则) 若 n 阶线性方程组的系数行列 式|A|≠0，则它有惟一解 ，则它有惟一解 , 1 1 A A x = , 2 2 A A x = . A A x n n = L , 其 中 |Aj|(j=1,2,…,n) 是 将 |A| 中的第 j 列换成 常数列 b1 , b2 ,…, bn 所得到的 n 阶行列式. n n j n n j nn j j n j a a b a a a a b a a A L L LLLLLLLLLLL L L 1 , 1 , 1 11 1, 1 1 1, 1 1 − + − + = n n n j nn j n b a a a b a a a A L L LLLLLLLLL L L 2 , 1 12 1, 1 1 = ¾ 表述-简洁自然 ¾ 行列式与方程组解 行列式与方程组解 的关系：存在性、唯 的关系：存在性、唯 一性
证明:先证x 是方程组的解 左边 a a 第i个方程 将A|按第j列展开为元素b1,b2,…,bn与其对应的 代数余子式的乘积之和 A1|=b1A1+b2421+…+bnA1n=∑ k=1 A2|=bA12+b242+…+bnA12=∑bAk2 原式 a, b,A+a>b,a k4k2+…+0i
证明: 先证 是方程组的解 ∑= = n j ij j a x i 第 个方程 1 左边 A A a A A a A A a n = i + i + L + in 2 2 1 1 , 1 1 A A x = , 2 2 A A x = A A x n L, n = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ + ∑ + + ∑ = = = n k in k kn n k i k k n k ai b k A k a b A a b A A 1 1 2 2 1 1 1 1 原式 L ¾ 将|A j|按 第 j列展开为元素 b1 , b 2 ,…, b n 与其对应的 代数余子式的乘积之和 代数余子式的乘积之和. ∑= = + + + = n k A b A b A b n A n b k A k 1 1 1 11 2 21 L 1 1 M L ∑= = + + + = n k A b A b A b n A n b k A k 1 2 1 12 2 22 2 2
a A,+∴+a.A 24k2 k n a, Ak+anAk2++ain Akm =A8, k 当k=i 0,当k≠ 左边 ∑bk|46k 故x1,x2…,xn是方程组的解
ik n k bk A A ∑ δ = = 1 1 左边 = bi ¾ 故 x1 , x2 ,…, xn 是方程组的解。 ⎩⎨⎧ ≠= + + + = = k i A k i ai Ak ai Ak ain Ak n A i k 当当 0 ,, 1 1 2 2 L δ ∑ ( ) = = + + + n k bk ai Ak ai Ak ain Ak n A 1 1 1 2 2 1 L