(後只人季 44子空间的交、和、直和及正交
4.4 子空间的交、和、直和及正交
(後只人季 、子空间的交与和 °定义413设W1,W2是线性空间v的两个子 空间,则W1与W2的交是 1∩W2={a|c∈W1,a∈W2 W1与W2的和是 1+W2={a+Ba∈W1,B∈W2
一、子空间的交与和
(後只人季 定理49如果W1,W2是线性空间V的子空间则 W1∩W2,W1+W2都是V的子空间. 证明:(1)W1∩W2是V的子空间: 因为0∈W1,0∈W2,得0∈W1∩W2故W1∩W2是非 空的; 设a,B∈W1∩W2,则a,B∈W1且a,B∈W2 故a+β∈W1且a+B∈W2,于是有 a+B∈W1∩W2 W1∩W2对加法封闭; 对任意λ∈P,Aa∈W1且λa∈W2,于是有 λa∈W1∩W 1 2 W1∩W2对乘法封闭 综上,根据定理41知W1∩W2是v的子空间
(後只人季 (2)W1+W2是V的子空间: 因为0∈W1,0∈W2,得0∈W1+W2故W1+W2是非空 的 设a,B∈W1+W2,则有 c=a1+a2,a1∈W1,a2∈W2 β=B1+B2,B1∈W1,B2∈W2 由于W1,W2是v的子空间,从而 1+1∈W1,a2+2∈W2 于是 a+β=(a1+a2)+(B1+B2)=(a1+B1)+(a2+B2) 所以 a+β∈W1+W2 W1+W2对加法封闭;
(後只人季 对于任意λ∈P有 λc1∈W1,λa2∈W2 于是 λa=A(a1+a2)=λc1+Ac2∈W1+W2 W1+W2对乘法封闭 综上,根据定理4.1知W1+W2是V的子空间 证毕