矩阵的初等变换
矩阵的初等变换 倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组 对线性方程组的矩阵形式:Ax=b定义增广矩阵 A=[Ab 求解方法由消元法转变到对增广矩阵的操作,下面列出消元法步 骤与相应的矩阵变换 消元法 矩阵变换: (1)交换两个等式位置 (1)交换矩阵的某两行 (2)某等式两端同乘非零常数.(2)对矩阵某行数乘非零常数 (3)两个等式相加 (3)将矩阵的某行加到另一行 (4)将某个等式乘以非零常数,(4)将矩阵的某行数乘一个非 加到另一个等式 零常数,加到另一行
利用矩阵变换求解线性方程组 对线性方程组的矩阵形式: Ax = b 定义增广矩阵 A = £ A b ¤ 求解方法由消元法转变到对增广矩阵的操作, 下面列出消元法步 骤与相应的矩阵变换: 消元法: (1) 交换两个等式位置. (2) 某等式两端同乘非零常数. (3) 两个等式相加. (4) 将某个等式乘以非零常数, 加到另一个等式. 矩阵变换: (1) 交换矩阵的某两行. (2) 对矩阵某行数乘非零常数. (3) 将矩阵的某行加到另一行. (4) 将矩阵的某行数乘一个非 零常数, 加到另一行. 倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组 例1:考虑下列线性方程组的解 2x1 6x2+8x3 x+4x3=6 6x1+2x2 矩阵形式 62-6 增广阵 2-684 A
利用矩阵变换求解线性方程组 例 1: 考虑下列线性方程组的解: 2x1 − 6x2 + 8x3 = 4 (1) −x1 − x2 + 4x3 = 6 (2) 6x1 + 2x2 − 6x3 = −8 (3) 矩阵形式: 2 −6 8 −1 −1 4 6 2 −6 x1 x2 x3 = 4 6 −8 增广阵 A = 2 −6 8 4 −1 −1 4 6 6 2 −6 −8 倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组 消元法 对矩阵的变换 (1)式(1)两端同乘常数05得式(4) (1)矩阵第一行数乘常数05 (2)将式(4)加到等式(2)得式(5) (2)第一行加到第二行 (3)等式(4)乘-6加到(3),得式(6) (3)第一行数乘-6加到第三行 x1-3x2+4x3 2(4) -4x+8x=8(5) 0-4 x-30x (4)式(5)两端同乘0.25得(7) (4)矩阵第二行数乘常数-0.25 (5)式(7)两端同乘-20加到(6)得式() (5)第二行数乘-20加到第三行 x1-3x2+4x=2(4) 1-342 01-2-2 20(8) 001020
利用矩阵变换求解线性方程组 消元法 (1) 式(1)两端同乘常数0.5得式(4). (2) 将式(4)加到等式(2)得式(5). (3) 等式(4)乘−6加到(3), 得式(6). 对矩阵的变换: (1) 矩阵第一行数乘常数0.5. (2) 第一行加到第二行. (3) 第一行数乘−6加到第三行. x1 −3x2 +4x3 = 2 (4) −4x2 +8x3 = 8 (5) 20x2 −30x3 = −20 (6) 1 −3 4 2 0 −4 8 8 0 20 −30 −20 (4) 式(5)两端同乘−0.25得(7). (5) 式(7)两端同乘−20 加到(6)得式(8). (4) 矩阵第二行数乘常数−0.25. (5) 第二行数乘−20加到第三行. x1 −3x2 +4x3 = 2 (4) x2 −2x3 = −2 (7) 10x3 = 20 (8) 1 −3 4 2 0 1 −2 −2 0 0 10 20 倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组 (6)式(8)两端同乘01得(9) (6)矩阵第三行数乘常数01 (7)式(9)两端同乘-4加到(4)得式(10).(7)第三行数乘-4加到第一行 (8)式(8)两端同乘2加到(7)得式(1 (8)第三行数乘2加到第二行 x1-3x (10) 1-30-6 0102 2(9) 0012 (9)式(11)两端同乘3加到(10)得(12) (9)第二行数乘3加到第一行 (12) 00|0 2(11) 0102 x3=2(9) 0012
利用矩阵变换求解线性方程组 (6) 式(8)两端同乘0.1得(9). (7) 式(9)两端同乘−4 加到(4)得式(10). (8) 式(8)两端同乘2 加到(7)得式(11). (6) 矩阵第三行数乘常数0.1. (7) 第三行数乘−4加到第一行. (8) 第三行数乘2加到第二行. x1 −3x2 = −6 (10) x2 = 2 (11) x3 = 2 (9) 1 −3 0 −6 0 1 0 2 0 0 1 2 (9) 式(11)两端同乘3加到(10)得(12). (9) 第二行数乘3加到第一行. x1 = 0 (12) x2 = 2 (11) x3 = 2 (9) 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 1 2 倪卫明 第二讲 矩阵的初等变换