(後只人季 32线性方程组的一般理论
3.2线性方程组的一般理论
回顾:线性方程组AX=b a]n,x=[x1x2…x],b=[bn,b2…bn] 当b≠0,AX=b称为非齐次线性方程组 当b=0,AX=0称为齐次线性方程组 通常称线性方程组有解为相容,无解为不相容 ●这一节将考虑线性方程组相容的充要条件,以及当 相容时方程组有唯一解还是无数解
回顾：线性方程组 AX b = , = ij m n A a = 1 2 , , , , T X x x xn = 1 2 , , , T b b b bm 当 b 0, AX b = 称为非齐次线性方程组 当 b = 0, AX = 0 称为齐次线性方程组 通常称线性方程组有解为相容，无解为不相容 ⚫ 这一节将考虑线性方程组相容的充要条件，以及当 相容时方程组有唯一解还是无数解
非齐次线性方程组解的研究 定理3.1n元线性方程组相容的充分必要条件是 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。 证必要性.设方程组Ax=b有解, 设1< 则A的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程0=1, 这与方程组有解相矛盾.因此,FA=
一 .非齐次线性方程组解的研究 定理3.1 n元线性方程组相容的充分必要条件是 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。 证 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 则 的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１， 这与方程组有解相矛盾. A A 设 r r A A = A 因此， r r
充分性设:A=7=F 则A的行阶梯矩阵中含个非零行, 把这r行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 其余n-r个作为自由未知量, 并令n-r个自由未知量全取0, 即可得方程组的一个解 证毕
并令n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 充分性. 证毕 其余 n − r 个作为自由未知量, 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, r 设： A A r r = = r 则 A 的行阶梯矩阵中含 r 个非零行
小结 分Ax=b无解 HA=1==n分Ax=b唯一解 A=h=F<n分Ax=b有无穷多解. 相容线性方程组解法: 设 对增广矩阵A进行适当的初 等行变换。找出不等于零的阶子式,并使对 应的r阶子式变为单位阵,这样的方程组与原方 程组同解
小结： Ax = b有唯一解 Ax = b有无穷多解. r r A A Ax = b无解 A = A r r = = r n A A r r = = r n 相容线性方程组解法： 设 ，对增广矩阵 进行适当的初 等行变换。找出不等于零的 阶子式，并使对 应的 阶子式变为单位阵，这样的方程组与原方 程组同解。 A A r r = = r A r r