(後只人季 例1在线性空间R3中,若用 Rxy表示向量[x,y0]的全体; Ry2表示向量0,y,z]的全体 R2表示向量[0,0,z的全体 则易知R,Rv2,R2都是R3的子空间,并且 Rxy nyz=O,y,O Ri Ryt ru= r R 3 xy t r R R∩R={0 Rw∩R y2 R
(後只人季 例2设a1,a2,…,a1与β1,B2,…,B是线性空间V的两 个向量组,则有 L(a1,a2,…,a1+L(B1,f2,…,月s)= L(a1,a2,…,C,B1,B2,…,Bs) ·证明: 设L(a1,a2,…,1)=W1sv L(β1,B2,…,Bs)=W2sv L(a1,a2,…,a,B1,B2,…,Bs)=W3sv 因为对于W1+W2中任一向量η=a+β,我中 a∈W1,B∈W2,所以a,β都属于W3,即 =a+B∈W3 故W1+W2sW3
(後只人季 另一方面,W3中的任一向量 η=λ1a1+λ2a2+…+λat+1B1+p2B2+…+pss 其中∈P,(=12,…Lj=1,2,s) 记 101 +λ 2u2 +…+a1cn∈W β=1B1+p262+…+{53Bs 2 即有 η=a+B∈W1+W2 故W3W1+W2 于是就证明了 (a1,a2…,a1)+L(B1,B2,…,Bs) L(a1,a2,…,aL,B1,B2,…,Bs) 证毕
(後只人季 子空间交与和的性质 设W1,W2,W3是V的子空间则满足一下运 算规律 (1)交换律 V1∩W,=W,∩W 1 2 2 W1+W2=W2+W1 (2)结合律 (W1nW2)∩W3=W1n(W2∩W3) (W1+W2)+W3=W1+(W2+W3)
(後只人季 定理410(维数公式)设W1,W2是线性空间V的子空 间,则 dimWit dimW2 dim(w1+w2)+dim (win w2) 证明: 设dimW1=m1,dimW2=n2,dimW1∩W2)=m 取W1∩W2的一个基y1,y2,…,ym 因为W1∩W2sW1故可扩充成W1的一个基 y1,y2,…,ym,1,C2,…,cn1-m 同理可由它扩充到W2的一个基 y1,y2,…ym,B1,B62,…,61 n2-m