线性代数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程糸 光华楼东主楼1109Te:65100226 liu@fudan.edu.cn
线 性 代 数 Linear Algebra Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn
§1.3行列式的基本性质 》根据定义计算行列式非常麻烦 1a12…a1 202…a2n\≠ ∑(-1) r(2…n)+r(h12…n) h1l2∵"ln J2∵Jn 每项是n个数相乘,要做(n-1)次乘法 行列式总共有n!项,需要做n!(n-1)次乘法 n=20 20!×19≈462×103 》我们需要继续深入研究行列式的性质=>更简便的方法
§ 1.3 行列式的基本性质 行列式的基本性质 根据定义计算行列式非常麻烦 根据定义计算行列式非常麻烦 ∑ + = − n n n n n n j j j i i i i j i j i j i i i j j j n n nn n n a a a a a a a a a a a a L L L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1)τ τ 每项是 n 个数相乘,要做(n-1)次乘法 行列式总共有 n! 项，需要做 n!(n-1)次乘法 13 n = 20 ⇒ 20!×19≈ 4.62×10 我们需要继续深入研究行列式的性质 我们需要继续深入研究行列式的性质=>更简便的方法
口行列式的转置 定义:将n阶行列式的行变为列,得到一个新的 行列式 则|AT|称为|A的转置行列式 (transposed determinant) 口性质1行列式|A与它的转置行列式AT相等
行列式的转置 定义: 将 n 阶行列式的行变为列，得到一个新的 阶行列式的行变为列，得到一个新的 行列式 n n nn n n a a a a a a a a a A L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n T a a a a a a a a a A L L L L L L L 1 2 12 22 2 11 21 1 = ¾ 则 |AT| 称为 |A| 的转置行列式 (transposed determinant) (transposed determinant) 性质1 行列式|A|与它的转置行列式|AT|相等
几何解释 左 ab-ab 沿着y=x b2 镜像对折 b2 面积之差不变
¾ 几何解释： 沿着 y=x 镜像对折 1 2 2 1 2 2 1 1 b b a b a a b a S 左 = = − 1 2 2 1 1 2 1 2 b b a b a b a a S 右 = = − ¾ 面积之差不变
bu b b 证明:记A 16. b b2 于是有b |AT按行标自然排列展开 =∑(-1) r(i2…in) 1i102i2 712 ∑(-1) 4证毕(也可如课本按列标自然排列展开) 说明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立
证明： n n nn n n T b b b b b b b b b A L LLLLLLL L L 1 2 21 22 2 11 12 1 记 = ¾ 于是有 b a (i, j 1,2, , n) i j = j i = L ¾ |AT|按行标自然排列展开 = ∑ − n n n i i i i i n i T i i i A b b b L L L 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1)τ = ∑ − n n n i i i i i i n i i i a a a L L L 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1)τ = A. 证毕(也可如课本按列标自然排列展开) ¾ 说明：行列式中 说明：行列式中行与列具有同等的地位 行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立 凡是对行成立的对列也同样成立