(後只人季 34线性方程组解的结构
3.4线性方程组解的结构
齐次线性方程组的基础解系 考虑:齐次线性方程组AX=0 接下来:用向量线性相关性理论来研究它的解。 定理39设X12X2…X都是齐次线性方程组的 解,则其线性组合也是齐次线性方程组的解(也 称解向量)。 证明从略 已知AX1=0,(i=1,2,…,s) 则有A(k1K1+k2X2+…+ksXs)=0
一 .齐次线性方程组的基础解系 考虑：齐次线性方程组 AX = 0 , = ij m n A a = 1 2 , , , , T X x x xn 接下来：用向量线性相关性理论来研究它的解。 1 2 , , , X X X s
定义38设X12X2…,X,是齐次线性方程组的 组解向量,若它满足条件: (1)线性无关; (2)齐次线性方程组的任意一组解都能表示为 X. X X,的线性组合,则称Ⅺ1X2…,X1 为齐次线性方程组的基础解系 基础解系的存在性: 定理3.10齐次线性方程组有非零解时,一定有 基础解系,且基础解系含有η一F个解,其中n 是未知量的个数,r是系数矩阵的秩
定义3.8 设 是齐次线性方程组的一 组解向量，若它满足条件： 1 2 , , , X X Xt （1）线性无关； （2）齐次线性方程组的任意一组解都能表示为 的线性组合，则称 为齐次线性方程组的基础解系。 1 2 , , , X X Xt 1 2 , , , X X Xt 基础解系的存在性： 定理3.10 齐次线性方程组有非零解时，一定有 基础解系 ，且基础解系含有 个解，其中 是未知量的个数， 是系数矩阵的秩。 n r − n r
改写(211)通解为向量形式 1 「C1r+1 C 1r+2 CIn C2r+1 C2r+2 .c 2n x rr+1 C rr+2 … rn r+1 0 r+2 10:0 1 C00:1 将等式右边的n-T个元向量记为X1,X2,…,Xn-r 则齐次线性方程组的通解可表示为 X=tiX1+ t2X2+.+ tn-rXn-r 其中t1,t2,…,tn-r是任意常数
容易得到X1,X2,…,Kn-为齐次线性方程组的解。 且矩阵[X1X2…Xn]中最后n-r行是一个单 位矩阵,因此矩阵[X1X2…Xn]的秩为n-r 因此X1,X2,…,Kn-线性无关。且由上式可知齐次 线性方程组的任意解都可以表示为X1,X2,…,Xn-r 的线性组合,因此X1,X2,…,Xnr为方程组的基础 解系,且含有n-r个解 由基础解系的定义可知,任意两个基础解系是等价 线性无关向量组。根据定理3.6推论2,它们所含向 量个数相等,所以齐次线性方程组AX=0的任一基 础解系所含解的个数都是n-r个