(後只人季 27矩阵的秩
2.7 矩阵的秩
(後只人季 定义2.17:在矩阵中,任取k行k列,由这些行和列交点上的 k2个元素按原有顺序构成的一个k阶行列式,称为矩阵的 个k阶子式 定义2.18:m×n矩阵A的不为零的子式的最大阶数称为矩阵 的秩,记为rA或者 rank a。 零矩阵的所有子式全为零所以规定零矩阵的秩为零
(後只人季 例1:计算矩阵的秩。 12 4 2-26 8 A 1-13 3420 4 000 0 解:因为 2 ≠0 2-2 而所有的三阶子式为0,因此rA=2
(後只人季 例2:计算矩阵的秩。 11 12 Ir 22 2r+1 000 0 0 000 解:左上角的子式 1 12 22 122 ≠0 所有的r+1阶子式为0,因此rA=r
11 12 1 1 1 1 22 2 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r n r r n m n rr rr rn a a a a a a a a a A a a a + + + = 11 12 1 22 2 11 22 0 0 0 0 r r rr rr a a a a a a a a a =
定理2.6:任意矩阵经过初等变换后秩不变。 (後只人季 证明: R (1)当A→B时,B的子式经过行重新排列后是A的子式,因此 秩不变 kR (2)当A→C时,C的子式或是A的子式,或是其k倍,因此秩 不变 (3)当AD时,设rA=r,设M是D中的一个r+1阶子式, 那么有三种可能: (a)M不包括D的第i行元素,这是M也是A的一个r+1阶子式, 所有M=0 (b)M包括D中的第i行元素,同时也包括第j行元素,此时 M=0