第三节定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
山东农业大 一、定积分的换元法 定理假设函数x)在区间[a,b]上连续，函数=0(t) 满足条件： (1)(a)=a,0(B=b; (2)(t)在[，（或[B,)上具有连续导数，且其值域 不越出[a,b],则有 [(xdx=di. 证明由已知条件知，两端的积分都存在，设Fx)是孔x)的一 个原函数，则F[p(t)]是∫[p(t)]p(t)的原函数，因此有 f(x)dr=F(b)-F(a）=FLp(B)】-F[o(a] =∫fot]p'()dr
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理 假设函数f(x)在区间[a, b]上连续, 函数x=(t) 满足条件: (1)()=a, ()=b; (2)(t)在[, ](或[, ])上具有连续导数, 且其值域 不越出[a, b], 则有 f x dx f t t dt b a ( ) [( )] ( ) = 一、定积分的换元法 的原函数 ,因此有 = F(b) − F(a) = F[()] − F[()] (t) (t) (t) (t) (t) 证明 由已知条件知,两端的积分都存在, 设F(x)是f(x)的一 个原函数, 则 是
心fr=jef[oo'a0dr 例1.计算ava2-x2dr(a>0), 解：令x=asint,则dx=acostdt,且 当x=0时，t=0,x=a时，t= .原式=a22cos2tdr y y=va2-x2 0 70+os20d S a X 2 2 sin2t) 2 πa (t+ 2 2
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (t) (t) 例1. 计算 解: 令 x = asint, 则 dx = acost dt , 当x = 0时, t = 0; , . 2 x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2 = + sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2 2 0 cos t dt 2 2 2 y = a − x o x y a 且
本堂 0fvwdr=f[po]o'0di 例2计算cos xsin xdx. [cos xsinxdx=cos xdcosx 兰-ri=ah=gr6- 或 cos xsinxx=cos xd cosx =-6os明=石cos号+名cos0=6 注： 换元一定要换积分限，不换元积分限不变
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (t) (t) 例 2 计算 cos xsin xdx 2 5 0 例2 解 cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0 =− cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0 =− cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0 =− 6 1 cos 0 6 1 2 cos 6 1 cos ] 6 1 [ 6 6 2 0 6 =− =− + = x 6 1 cos 0 6 1 2 cos 6 1 cos ] 6 1 [ 6 6 2 0 6 =− =− + = x 6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = = = t dt t dt t 令 x t 6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = = = t dt t dt t 令 x t 6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = = = t dt t dt t 令 x t 6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = = = t dt t dt t 令 x t 6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = = = t dt t dt t 令 x t cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0 =− 或 提示： 当 x=0 时 t=1 当 2 x= 时 t=0 注： 换元一定要换积分限 不换元积分限不变
ftr-jfIo01p0ar 例3计算sn3x-sm3xd. 3 解sm3x-sinxd水=sin2 xlcosxld水 -mnxcosxdr-inxcosxdr 3 sinxdsinxsin xdsinx 3 -m刘号mg-号-(3专
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (t) (t) 解 例 例 3 3 计算 − 0 3 5 sin x sin xdx sin x sin xdx sin 2 x|cosx|dx 3 0 0 3 5 − = sin x sin xdx sin 2 x|cosx|dx 3 0 0 3 5 − = = − 2 2 3 2 0 2 3 sin xcosxdx sin xcosxdx = − 2 2 3 2 0 2 3 sin xd sin x sin xd sin x 提示： sin sin sin (1 sin ) sin |cos | 2 3 3 5 3 2 x− x = x − x = x x 在 ] 2 [0, 上|cos x|=cos x 在 , ] 2 [ 上|cos x|=−cos x 5 4 ) 5 2 ( 5 2 sin ] 5 2 sin ] [ 5 2 [ 2 2 5 2 0 2 5 = − = − − = x x 5 4 ) 5 2 ( 5 2 sin ] 5 2 sin ] [ 5 2 [ 2 2 5 2 0 2 5 = − = − − = x x