第二节换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第二节换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法
山东农业大 方本 一、第一类换元法 问题 「cos2 xdx sin2x+C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令t=2x→dk=二t, 12 ∫cos2xk=2打o=2sint+C=2sin2x+C, 在一般情况下： 设F'(w=f(w),则f(u)du=F(w)+C. 如果u=p(x)（可微)：'dFIp(x)川=fIp(x)川p'(x) ·.∫f[p(x)lp'(x)d=FLp(xl+C-=lf(w)dl-pe 由此可得换元法定理
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 cos2xdx= sin2x + C, 利用复合函数，设置中间变量. 令 t = 2x , 2 1 dx = dt cos2xdx tdt = cos 2 1 = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 问题 解决方法 过程 一、第一类换元法 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . f u du = F u + C 如果 u = (x) （可微） dF[(x)] = f[(x)](x)dx f[(x)](x)dx = F[(x)]+ C= = ( ) [ ( ) ] u du u x f 由此可得换元法定理 在一般情况下：
一、第一类换元法 定理1.设f(w)有原函数，u=p(x)可导，则有换元 公式 ∫fIe(lo'cxte=∫fau=oy 即 「fp(x)]o'(x)dx=「f(p(x)dp(x) 第一类换元公式（凑微分法） 注：在一般情况下： 设F'(u)=f(u)则∫f(w)du=F(w)+C 使用此公式的关键在于将 g(x)c化为∫fp(xp'(x)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、第一类换元法 定理1. 设 f (u)有原函数, u =(x)可导, 则有换元 公式 f (u)du u =(x) 即 = f ((x))d(x) f [(x)] (x)dx 第一类换元公式（凑微分法） 在一般情况下： 设 F'(u) = f (u) 则 f (u)du = F(u)+C 使用此公式的关键在于将 g(x)dx化为 f[(x)]'(x)dx 注:
等数学 主讲 苏本堂 例1求 3+2 解 t21.1.3+2xy, 3+2x23+2x 1324c-32e（3+2如ih -g如=n+(-3+2+c 一般地 ∫fac+b)k=foi.sw
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1 求 . 3 2 1 dx x + 解 (3 2 ) , 3 2 1 2 1 3 2 1 + + = + x x x dx x 3 + 2 1 x dx x (3 2 ) 3 2 1 2 1 + + = du u = 1 2 1 = lnu + C 2 1 ln(3 2 ) . 2 1 = + x + C f (ax + b)dx = u du u=ax+b f a [ ( ) ] 1 一般地
例2求∫2xe 解：∫2xek=∫edr)"∫e=e+c=e+c 例3求树+2n时 解：∫+2n点-小1n d(1+2Inx) 4=1+2Inx J2加=na+c=21+2n+c
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2 求 xe dx x 2 2 解： = xe dx = e d x = e du u u x x x 2 2 2 2 ( ) 2 e C e C u x = + = + 2 求 解： dx x x (1+ 2ln ) 1 (ln ) 1 2ln 1 d x x + = (1 2ln ) 1 2ln 1 2 1 d x x + + = u = 1+ 2ln x = du u 1 2 1 = ln u+C 2 1 ln(1 2ln ) . 2 1 = + x +C 例3 dx x x (1+ 2ln ) 1