第四节有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节 有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例
山东农业大 方本 一、有理函数的积分 有理函数的形式 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即 具有如下形式的函数： Px_ax”+ax7-+.+a-1x+a2 (x)box+xm++bmx+bm 当n<m时，称这有理函数是真分式，而当n≥m时，称这有理 函数是假分式 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的 形式.例如 x3+x+1x(x2+1)+1 -=X十 x2+1 x2+1 x2+1
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、有理函数的积分 有理函数的形式 当nm时, 称这有理函数是真分式;而当nm时, 称这有理 函数是假分式. 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即 具有如下形式的函数: 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的 形式. 例如 m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + ++ + + ++ + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x
有理函数化为部分分式之和的一般规律： (1)分母中若有因式(x-),则分解后为 A A A (x-a)(x-a)2 (x-a)k 特殊地：k=1,分解后 -1 x-a (2)分母中若有因式(x2+x+),其中p2-4g<0 则分解后为 Mx+N M,x+N, +m+g列+ Mix+N (x2+px+q)''( (x2+px+q) 特殊地：k=1,分解后为 Mx+N x+px+ (3)真分式化为部分分式之和的方法（拼凑法，待定 系数法，赋值法)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 （1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x − a) , ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 k k x a A x a A x a A − + + − + − 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 特殊地： 分解后为 ; x a A − k = 1, 则分解后为 （2）分母中若有因式 (x 2 + px + q) k , 其中 4 0 2 p − q k k k x px q M x N x px q M x N x px q M x N ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + + + + + + + + + + + + 特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N + + + （3）真分式化为部分分式之和的方法(拼凑法,待定 系数法, 赋值法)
苏本堂 例1.将下列真分式分解为部分分式： (1) x+3 x(x-1)2 (2) x2-5x+6 解：(1)用拼凑法 。=X-(x- 1 x(x-1)2x(x-1)2 (x-Dxx-D 1_x-(x-1) (x-1)2 x(x-1) 1 1.1 (x-1)2x-1x
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 2 2 ( 1) ( 1) 1 − = x x − x x 2 ( 1) 1 − = x ( 1) 1 − − x x 2 ( 1) 1 − = x ( −1) − x x 2 ( 1) 1 − = x 1 1 − − x x 1 + x −(x −1) x −(x −1)
(2)用赋值法 x+3 x+3 A B x2-5x+6(x-2)(x-3) X-2x-3 .A=(x-2)原式 =+3 =2x-x=2=-5 8=《-原式x=32引x=96 x+3 故 原式=一5+6 x-2x-3
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (2) 用赋值法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x − 2 = x A − 3 + x B A = (x − 2)原式 x = 2 3 2 3 − = + = x x x = −5 B = (x −3)原式 x = 3 2 3 3 − = + = x x x = 6 故 2 5 − − = x 原式 3 6 − + x