高等数学 主计 方本堂 第二节洛必达法则 0 不定式极限 0 二 ”不定式极限 00 三.其他不定式极限
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第二节 洛必达法则 一. 不定式极限 0 0 二. 不定式极限 三.其他不定式极限
函数的性态 微分中值定理 1i 导数的性态 本节研究： 0 函数之商的极限im M(x) 或 型) 8(x) 00 转化 洛必达法则 导数之商的极限im f'() g(x)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则
等数学 主讲 苏本堂 型未定式 0 定理1. 1)lim f(x)=lim F(x)=0 x->a x→a 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F'(x)≠0 3)lim fC) xaF(x) 存在（或为00） 则 lim f(x) lim f( xa F(x) xaF'(x) (洛必达法则
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导, 定理 1. 型未定式 0 0 则 (洛必达法则)
定理条件：1)limf(x)=limF(x)=0 x→a x→q 2)f(x)与F(x)在U(a内可导，且F'(x)≠0 3)lim f(x) x->a F(x) 存在（或为0） 证：无妨假设f(a)=F(a)=0,在指出的邻域内任取 x≠a,则f(x),F(x)在以x,a为端点的区间上满足柯 西定理条件，故 f(x)-f(x)-f(a_∫'(5) (5在x,a之间) F(x)F(x)-F(a) F'(5) lim f() lim '( 3) lim I'() xaF(x) x-→aF'(5) xa F'(x)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( 在 x , a 之间) 证: 无妨假设 f (a) = F(a) = 0, 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = ( ) ( ) lim F f x a = → 3) 定理条件: 西定理条件, ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,
等数学 主计 苏本堂 洛必达法则 lim f(x) = →aF(x) xaF'(x) 推论1.定理1中x→a换为 x→a，x→a,x→0，x>+00,x→-0 之一，条件2)作相应的修改，定理1仍然成立 推论2.若1imf四仍属9型，且f,5'()满足定 F'(x) 0 理1条件，则 lim=lim=lim F(x) F'(x) F"(x)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 推论1. 定理 1 中 x →a 换为 , → − x a 之一, 推论 2. 若 ( ) ( ) lim F x f x 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → +, 洛必达法则