高等数学 主计 本堂 第五章定积分 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的换元法和分部积分法 第四节 反常积分
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的换元法和分部积分法 第四节 反常积分
第一节 定积分的概念与性质 一、定积分问题举例 二、定积分的定义 三、定积分的性质
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第一节 定积分的概念与性质 三、定积分的性质 一、定积分问题举例 二、定积分的定义
一、定积分问题举例 在初等函数里面，我们只会计算规则图形的面积， 如长方形，圆形等。如何计算不规则图形的面积，是 我们需要解决的问题。 曲边梯形 设函数y=x)在区间[a,b] =孔x) 上非负、连续.由直线x=a、x=b、 y=O及曲线y=fx)所围成的图形 x-a x=b 称为曲边梯形，其中曲线弧称 为曲边 0 L b 如何计算其面积？
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、定积分问题举例 曲边梯形 设函数y=f(x)在区间[a, b] 上非负、连续. 由直线x=a、x=b、 y=0及曲线y=f(x)所围成的图形 称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边. 如何计算其面积？ a b x y o y=f(x) x=a x=b 在初等函数里面，我们只会计算规则图形的面积， 如长方形，圆形等。如何计算不规则图形的面积，是 我们需要解决的问题
解决步骤： 1)分割. 在区间[a,b]中任意插入n-1个分点 a=0<1<x2<<xn-1<Xn=b 用直线x=x;将曲边梯形分成n个小曲边梯形， 2)近似.在第i个窄曲边梯形上任取5：∈[x;-1,x;] 1 作以[x-1,x]为底，f(5) 为高的小矩形，并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积△A,得 a x xXi-1xi bx 51 △4≈f(5i)△xi(Axi=x-x-1),i=1,2,.,n)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 1 x i x i−1 a x y o 解决步骤 : 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b [ , ] i i 1 i x x − 用直线 i x = x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 近似. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 [ , ] i 1 i x x − 为底 , ( )i f 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 ( ) ( ) i i i i = i − i−1 A f x x x x i
主讲 苏本堂 3)求和. A=∑A4,≈∑f(5:)△x 1 i=l 4)取极限.令元=max{△r;},则曲边梯形面积 l≤i≤n n A=lim∑A4, 1→01 = lim ∑f(5i)Ax: 201 Xi-1xi bx
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 3) 求和. = = n i A Ai 1 = n i i i f x 1 ( ) 4) 取极限. 令 则曲边梯形面积 → = = n i A Ai 1 0 lim → = = n i i i f x 1 0 lim ( ) a y o 1 x i x i−1 x i