山东衣农大学 第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点
、函数单调性的判定法 定理1设函数x)在[a,b上连续，在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f'(x)>0,则x)在[a,b]上单调增加； (2)如果在(a,b)内f'(x)<0,则x)在[a,b]上单调减少. 证明只证(1).在(a,b)内任取两点x1,x2x<x2), 由拉格朗日中值公式，有 x2)x1)=f'(50x2-x1)(x1<5x2) 因为f'(月>0，x2-x>0,所以 x2一x1=f'(5x2-x1>0, 即 x1孔x2), 这就证明了函数x)在(a,b)内单调增加
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、函数单调性的判定法 定理1 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少 由拉格朗日中值公式 有 f(x2 )−f(x1 )=f (x)(x2−x1 ) (x1<x<x2 ) 因为f (x)>0 x2−x1>0 所以 f(x2 )−f(x1 )=f (x)(x2−x1 )>0 即 f(x1 )<f(x2 ) 这就证明了函数f(x)在(a b)内单调增加 证明 只证(1) 在(a b)内任取两点x1 x2 (x1<x2 )
例1讨论函数y=e*-x-1的单调性. 解y=ew-1. 函数y=x-x-1的定义域为(-oo,o).因为在(-oo,0)内 y<0,所以函数y=x-x-1在(-o,0]上单调减少； 因为在(0，+o)内y>0,所以函数y=ex-x-1在[0，+oo)上单 调增加 例2讨论函数y=x2的单调性 y= 解函数的定义域为(-o,+∞). /冠(0，画数在0处不可导， 因为x<0时，y<0,所以函数在(-o,0]上单调减少； 因为x心0时，y>0,所以函数在[0，+o)上单调增加
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 函数y=ex−x−1的定义域为(− ) 因为在(− 0)内 y<0 所以函数 y=e x−x−1在(− 0]上单调减少 因为在(0 +)内y>0 所以函数 y=e x−x−1在[0 +)上单 调增加 解 y=e x−1 例1 讨论函数 y=e x −x−1的单调性 解 函数的定义域为(− +) 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 +)上单调增加 因为x<0时 y<0 所以函数在(− 0] 上单调减少 例2 讨论函数 3 2 y = x 的单调性 3 3 2 x y = (x0) 函数在 x=0 处不可导
主讲 苏本堂 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求出导数f'(x); (3)求出f'(x)全部零点和不可导点； (4)判断或列表判断； (5)综合结论. 例3.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解：f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 令f'(x)=0,得x=1,x=2 利用x=1,x=2划分函数的定义域，列表讨论
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (1)确定函数的定义域 (2)求出导数f (x) (3)求出f (x)全部零点和不可导点 (4)判断或列表判断 (5)综合结论 确定函数单调区间的步骤 例3. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 利用 x =1, x = 2 划分函数的定义域,列表讨论
例3.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解：f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1(x-2) 令f'(x)=0,得x=1,x=2 (-00,1)1 (1,2) 2 (2,+0) f'(x) 0 f(x) 2 故f()的单调增区间为(-0,1)，(2，+∞)： f(x)的单调减区间为(1,2). 1
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 o x y 1 2