山东农大学 高等数学 讲人：本蜀 第四章不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法公式 第四节 有理函数的积分 第五节 积分表的使用
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法公式 第四节 有理函数的积分 第五节 积分表的使用
第一节不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质
一、原函数与不定积分的概念 引例：一个质量为m的质点，在变力F=Asint的作 下沿直线运动，试求质点的运动速度v(t) 根据牛顿第二定律，加速度al)=F-4sin( mm 因此问题转化为：已知0=Asint,求0=？ m 定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x) 满足F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)d,则称F(x)为f(x) 在区间I上的一个原函数. 如引例中，4sint的原函数有-4cos1,-4cost+3, A。 m m m
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、 原函数与不定积分的概念 引例: 一个质量为 m 的质点, 下沿直线运动, 因此问题转化为:已知 ( ) sin t , m A v t = 求 v(t) = ? 在变力 试求质点的运动速度 根据牛顿第二定律, 加速度 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 如引例中, t m A sin 的原函数有 cos t, m A − − cost + 3, m A
问题： 1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？ 2.一个函数的原函数是否唯一，若不唯一它们之间 有什么联系？ 3.若原函数存在，它如何表示？ 关于(1)即原函数存在性，我们有 定理1.若函数x)在区间I上连续，则x)在I上存在 原函数. (下章证明) 由于初等函数在其定义域上是连续的，所以得： 初等函数在定义区间上有原函数
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 3. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1.若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在I上存在 原函数 . 由于初等函数在其定义域上是连续的, 所以得: 初等函数在定义区间上有原函数 2. 一个函数的原函数是否唯一, 若不唯一它们之间 有什么联系？ 关于(1) 即原函数存在 性,我们有 (下章证明)
定理2若Fx)是孔x)的一个原函数，则x)所有的原 函数可表示为Fx+C.(C为任意常数) 证：1)(F(x)+C)'=F'(x)=f(x) ∴.F(x)+C是f(x)的原函数 2)设Φ(x)是f(x)的任一原函数，即 Φ'(x)=f(x) 又知 F'(x)=f(x) ∴.[Φ(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 Φ(x)=F(x)+C(C0为某个常数) 即Φ(x)=F(x)+Co
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 证: 1) 又知 [(x) − F(x)] = (x) − F(x) = f (x) − f (x) = 0 故 0 (x) = F(x) +C ( ) C0为某个常数 即 0 (x) = F(x) +C 即 定理2 若F(x)是f(x)的一个原函数, 则f(x)所有的原 函数可表示为F(x)+C . ( C 为任意常数 )