第十章双线性函数s 10.1线性函数S10.2对偶空间$10.3双线性函数s10.4对称双线性函数
第十章 双线性函数 §10.1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数
s 10.4对称双线性函数对称双线性函数二、反对称双线性函数三、正交基四、双线性度量空间810.4对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数 一、对称双线性函数 二、反对称双线性函数 §10.4 对称双线性函数 三、正交基 四、双线性度量空间
一、对称双线性函数1. 定义设f(α,β)为数域P上线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意向量α,β均有f(α,β)= f(β,α)则称f(α,β)为对称双线性函数810.4对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数 一、 对称双线性函数 1. 定义 设 为数域P上线性空间V上的一个双线 性函数，如果对V中任意向量 均有 则称 为对称双线性函数. f ( , ) , f f ( , ) ( , ) = f ( , )
2.对称双线性函数的有关性质命题1数域P上n维线性空间V上双线性函数是对称的（反对称的）台f(α,β）在V的任意一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的）证：任取V的一组基81,82，,8nα=(e1,82,..,en)X, β=(81,62,..,en)Y.f(6,8,)=aij, A=(a,)则 f(α,β)=X'AY.810.4对称双线性函数A
§10.4 对称双线性函数 命题1 数域 P上n 维线性空间 V上双线性函数 是对称的（反对称的） 在V的任意 一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的）. f ( , ) 证：任取V的一组基 1 2 , , , , n 1 2 1 2 ( , , , ) , ( , , , ) . = = n n X Y ( , ) , ( ) i j ij ij f a A a = = 则 f X AY ( , ) ' . = 2. 对称双线性函数的有关性质
f(α,β)= f(β,α)α X'AY =Y'AX=(Y'AX)'= X'A'Y f(8),8,)= f(6j,6)aj =ajiA=A.同样 f(α,β)=-f(β,α)≤ f(8;,8,)=-f(8,8,)台X'AY=-Y'AX=-X'A'Y←A=-AS10.4对称双线性函数K
§10.4 对称双线性函数 f f X AY Y AX ( , ) ( , ) ' ' = = ( , ) ( , ) i j j i = f f = = ( ' )' ' ' Y AX X A Y 同样 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) i j j i f f f f = − = − = − = − X AY Y AX X A Y ' ' ' ' = A A'. ij ji = a a = − A A