第六章线性空间S5线性子空间S1集合·映射86子空间的交与和S2线性空间的定义与简单性质S7子空间的直和S3维数·基与坐标s8线性空间的同构s4基变换与坐标变换小结与习题
§2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间
$6.5线性子空间一、线性子空间二、生成子空间6.5线性子空间
§6.5 线性子空间 一、线性子空间 二、生成子空间 §6.5 线性子空间
一、线性子空间1、线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间，集合W_V(W￥の)若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间，则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间注：①线性子空间也是数域P上一线性空间，它也有基与维数的概念②任一线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.86.5线性子空间区区
§6.5 线性子空间 一、线性子空间 1、线性子空间的定义 设V是数域P上的线性空间，集合 W V W ( ) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 注：① 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也 ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 有基与维数的概念. 维数
2、线性子空间的判定定理：设v为数域P上的线性空间，集合WεV(W≠の)，若W对于V中两种运算封闭，即Vα,βeW, 有 α+βeW;VαeW,vkeP, 有 kαeW茶则W是V的一个子空间。推论：V为数域P上的线性空间,W≤V(Wの)，则W是v的子空间台Vα,βeWVa,beP,aα+beW86.5线性子空间区
§6.5 线性子空间 2、线性子空间的判定 ( ) W ，若W对于V中两种运算封闭，即 + , , ; W W 有 则W是V的一个子空间． 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V W k P k W , , 有 + , , , , . W a b P a b W 推论：V为数域P上的线性空间, W V W ( ), 则 W是V的子空间
证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则由于W≤V，规则1）、2）、5）、6）、7）、8)是显然成立的．下证3）、4）成立。：W，：αW．且对VαeW,由数乘运算封闭，有-α=(-1)αEW，即W中元素的负元素就是它在V中的负元素，4）成立。由加法封闭，有0=α+-α)EW，即W中的零元就是V中的零元，3）成立。CC86.5线性子空间
§6.5 线性子空间 ∵ W ，∴ W . 且对 W ，由数乘运算 封闭，有 − = − ( 1) W ，即W中元素的负元素就是 它在V中的负元素，4）成立． 就是V中的零元， 3）成立． 由于 W V ，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立． 由加法封闭，有 0 ( ) = + − W ,即W中的零元 证明：要证明W也为数域P上的线性空间， 即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．