§4.4矩阵的逆 一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程
一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程
可逆矩阵的概念定义设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得AB=BA=E则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵注：①可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 A-1.可逆矩阵A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵，且0(A-")"= A.单位矩阵E可逆，且（E)=E。34.4矩阵的逆区区
§4.4 矩阵的逆 一、可逆矩阵的概念 定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得 AB＝BA＝E 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵. 注： ( ) 1 1 A A. − − = ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 1 A . − ③ 单位矩阵 E 可逆，且 ( ) 1 E E . − = ② 可逆矩阵A的逆矩阵 也是可逆矩阵，且 1 A −
二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法1、伴随矩阵定义设A，是矩阵A=(a）nn中元素a;的代数余子式，矩阵A1 A21AnA12 A222..A*=(Ain Azn ... An)称为A的伴随矩阵性质：AA*=A"A=|AE84.4矩阵的逆
§4.4 矩阵的逆 二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 定义 1、伴随矩阵 称为A的伴随矩阵. 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A = 性质： * * AA A A A E = = 余子式，矩阵 设 Aij 是矩阵 A a = ( )ij n n 中元素 aij 的代数
证：由行列式按一行（列）展开公式k=id,akiA +ak2Ai2 +...+aknAin10,k+id =|Al.(d,l=jauA, +aA2, +.+ anAwj(0,l+j立即可得，Allania12aA21InAn2A12An2a22a2na21AA* =AinAzn ... Annanannan200d0d0同理，A*A=dE.= dE.00d..84.4矩阵的逆区区
§4.4 矩阵的逆 证：由行列式按一行（列）展开公式 立即可得, 11 12 1 11 21 1 * 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A AA a a a A A A = d A = . 1 1 2 2 , 0, k i k i kn in d k i a A a A a A k i = + + + = 1 1 2 2 , 0, l j l j nl nj d l j a A a A a A l j = + + + = 0 0 0 0 . 0 0 d d dE d = = 同理, * A A dE =
2、定理：矩阵A可逆当且仅当|A±0，（即AA*A-1非退化的），且Al证：若IA±0，由AA"=A'A-|AEA*A*得1=EAAAA-1所以，A可逆，且A反过来，若A可逆，则有AA-I=E,两边取行列式，得[AA-"=E|=1.：[A|0.84.4矩阵的逆AP
§4.4 矩阵的逆 * 1 . A A A − 非退化的），且 = 证：若 A 0, 由 * * AA A A A E = = 所以，A可逆，且 * 1 . A A A − = 两边取行列式，得 1 A A E 1. − = = A 0. 2、定理：矩阵A可逆当且仅当 A 0, （即A 得 * * A A A A E A A = = 反过来，若A可逆，则有 1 AA E, − =