例. f:VxV→P, (α,β)H f(α,β)=(α,β)f(α,β)=(α,β) =(β,α)= f(β,α)f(8),8,)=(8),8,).f(α,β)在81,82,",8n下的矩阵为((81,81) ... (81,8n)A=((en,e)) ... (en,en)A'=A且A为正定矩阵$10.4对称双线性函数A
§10.4 对称双线性函数 f f ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) === ( , ) ( , ). i j i j f = f ( , ) 在 1 2 , , , n 下的矩阵为 1 1 1 1 ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) n n n n A = 例. f V V P : , → ( , ) ( , ) ( , ) f = 且 A 为正定矩阵. ' A A =
设V是数域P上n维线性空间.f(α,β)定理5 是V上对称双线性函数，则存在一组基81,82,,n，使f(α,β)在这组基下的度量矩阵为对角形证：只需证能找到一组基si,82,…,8n，使f(8j,8)=0,i±j1) 若α,β f(α,β)=0, 则 f(s;,8,)=0.2）若f(α,β)不全为0，先证必有f(,)0.810.4对称双线性函数区区
§10.4 对称双线性函数 定理5 设V是数域P上n 维线性空间. 是V上对称双线性函数，则存在一组基 ，使 在这组基下的度量 矩阵为对角形. f ( , ) 1 2 , , , n f ( , ) 证：只需证能找到一组基 1 2 , , , n ，使 ( , ) 0, i j f i j = 1）若 = , ( , ) 0, f 则 ( , ) 0. i j f = 2）若 f ( , ) 不全为0，先证必有 1 1 f ( , ) 0.
否则，若αV,f(α,α)=0，则对Vα,βV有f(α,β)=_[f(α+β,α+β)- f(α,α)-f(β,β))=[0- 0-0]= 0.2所以这样的81是存在的对 dimV= n 用归纳法n=1 时成立.①假设≤n-1维数上述结论也成立.2将6扩充为V的一组基1,62,…,6n$10.4对称双线性函数V
§10.4 对称双线性函数 否则，若 = V f , ( , ) 0, 则对 , V 有 1 ( , ) [ ( , ) ( , ) ( , )] 2 f f f f = + + − − 1 [0 0 0] 0. 2 = − − = 所以这样的 1 是存在的. 对 dimV n = 用归纳法. ① n = 1 时成立. ② 假设 − n 1 维数上述结论也成立. 将 1 扩充为V的一组基 1 2 , , , . n
f(e1,n;)i= 1,2,...,n.8'=ni令61f(,n)f(er,n;)61)= 0.则 f(6,8;)= f(6,nf(81,n)易证&j,6",…,6仍是V的一组基考察由&",83",8生成的线性子空间L(e2',e3',..",en)VαeL(c2,83',,8,), 有 f(61,α)= 0 且V = L(8) L(82',83,.",6n)S10.4对称双线性函数区区
§10.4 对称双线性函数1 1 1 1 ( , ) ' , 1,2, , . ( , ) i i i f i n f 令 = − = 则 1 1 1 1 ( , ) ( , ') ( , ) 0. ( , ) i i i i i f f f f = − = 易证 1 2 仍是V的一组基. , ', , ' n 考察由 2 3 ', ', , ' n 生成的线性子空间 2 3 ( ', ', , ') L n 2 3 ( ', ', , '), L n 有 f ( , ) 0 1 = 且 1 2 3 ( ) ( ', ', , ') V L L n =
把f(α,β)看成L(c,,,,,)上的双线性函数，仍是对称的由归纳假设，L(c2",83",.…,8")有一组基62,,8nij.满足 f(8;,8,)=0i,j=2,3,...,n由于V = L(e)④ L(82',83 ',..-,en ).故ε1,82,,8,是V的一组基，且满足ij.f(6),8,)=0i,j=2,3,...,n$10.4对称双线性函数区区
§10.4 对称双线性函数 把 f ( , ) 看成 L( ', ', , ') 2 3 n 上的双线性函数， 仍是对称的. 由归纳假设， 有一组基 满足 2 3 ( ', ', , ') L n 2 , , n ( , ) 0 , 2,3, , . i j f i j n i j = = 故 1 2 , , , n 是V的一组基，且满足 ( , ) 0 , 2,3, , . i j f i j n i j = = 1 2 3 ( ) ( ', ', , '). V L L n 由于 =