第六章线性空间S5线性子空间S1集合·映射86子空间的交与和S2线性空间的定义与简单性质S7子空间的直和S3维数·基与坐标s8线性空间的同构S4基变换与坐标变换小结与习题
§2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间
S6.8线性空间的同构一、同构映射的定义二、同构的有关结论86.8线性空间的同构
§6.8 线性空间的同构 一、同构映射的定义 二、同构的有关结论 §6.8 线性空间的同构
引入我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后，v中每一个向量α有唯一确定的坐标(a,az,,a,)，向量的坐标是P上的n元数组，因此属于Pn这样一来，取定了V的一组基6j,82,,6n，对于V中每一个向量α，令α在这组基下的坐标（ai,az，",an)与α对应，就得到v到P"的一个单射 ：V→P"，α→(a,az,,an)反过来，对于pn中的任一元素（aj,a2,,an),α=8a+&az+.+8nan是V中唯一确定的元素，并且(α)=(a,az,,n),即也是满射因此，α是V到Pn的一一对应。86.8线性空间的同构区区
§6.8 线性空间的同构 我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后， V中每一个向量 有唯一确定的坐标 向量的 坐标是P上的n元数组，因此属于P n . 这样一来，取定了V的一组基 对于V中每一个 向量 ，令 在这组基下的坐标 与 对应，就 得到V到P n的一个单射 反过来，对于P n 中的任一元素 是V中唯一确定的元素， 并且 即 也是满射. 因此， 是V到 P n 的一一对应. 引 入 1 2 ( , , , ), n a a a 1 2 , , , , n 1 2 ( , , , ) n a a a 1 2 : , ( , , , ) n V P a a a → n 1 2 ( , , , ), n a a a 1 1 2 2 n n = + + + a a a 1 2 ( ) ( , , , ), n = a a a
这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上，任取 α,βeV,设α=ae, +a,e2 +..+anen, β=be +be,+...+bnen则 o(α)=(ar,az .",an), o(β)=(b,b2,"",bn)从而 o(α+β)=(a, +bi,a, +b,."",an+bn)=(a,a,..,an)+(b,,b2,...,b) = o(α)+o(β)Vkepo(kα) =(kaj,ka, .,kan)= k(a,a, ..,an) = ko(α),这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以归结为它们的坐标的运算6.8线性空间的同构
§6.8 线性空间的同构 这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上. 任取 , , V 设 1 2 ( ) ( , , , ) n = b b b 1 1 2 2 , n n = + + + a a a 1 1 2 2 n n = + + + b b b 1 2 ( ) ( , , ), n 则 = a a a 1 1 2 2 ( ) ( , , ) n n + = + + + a b a b a b 1 2 ( ) ( , , ) n k ka ka ka k P = 归结为它们的坐标的运算. 这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以 1 2 1 2 ( , , ) ( , , , ) ( ) ( ) n n = + = + a a a b b b 1 2 ( , , ) ( ), n = = k a a a k 从而
一、同构映射的定义设V,V'都是数域P上的线性空间，如果映射o：V→V具有以下性质：i）为双射Vα,βeVi) α(α+β)=α(α)+α(β),ii) α(kα)=ko(α),VkeP,Vαev则称α是V到V"的一个同构映射，并称线性空间V与V'同构，记作V=V.86.8线性空间的同构区区
§6.8 线性空间的同构 一、同构映射的定义 设 V V, 都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V → 具有以下性质： 则称 是V V 到 的一个同构映射，并称线性空间 V V 与 同构，记作 V V . ii) ( ) ( ) ( ), , + = + V iii) (k k k P V ) = ( ), , i) 为双射