第五章二次型s5.1二次型的矩阵表示标准形$5.2S5.3唯一性S5.4正定二次型章小结与习题
第五章 二次型 §5.1 二次型的矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型 章小结与习题
S5.2 标准形一、二次型的标准形二、合同的变换法三、小结$5.2标准形
§5.2 标准形 一、二次型的标准形 二、合同的变换法 三、小结 §5.2 标准形
二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型dx?+d,x,?+...+d,x.?它的矩阵是对角阵diag(d,,d,"".,dn)任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？85.2标准形人P
§5.2 标准形 二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型 它的矩阵是对角阵 平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？ 任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成 ? 2 2 2 1 1 2 2 n n d x d x d x + + + 1 2 1 2 0 0 0 0 ( , , , ) 0 0 0 n n d d diag d d d d =
一、二次型的标准形1、（定理1）数域P上任一二次型都可经过非退化线性替换化成平方和的形式证明：对二次型变量个数n作归纳法n=1时，f(x)=aux，结论成立.假定对n一1元二次型结论成立下面考虑n元二次型f(x,x2,.,x,)85.2标准形区区
§5.2 标准形 证明： 对二次型变量个数n作归纳法. 假定对n－1元二次型结论成立. 一、二次型的标准形 过非退化线性替换化成平方和的形式. 1、（定理1）数域P上任一二次型都可经 n=1时， 结论成立. 2 1 11 1 f x a x ( ) , = 下面考虑n元二次型 1 2 ( , , , ). n f x x x
f(xj,x2,.,xn)=ax +2a2xx2 +..+2ainxxn+ax, +...+ 2a2nX,xn+ax +.+2antgxn+...+a..x.?=dx*+2ax +2axx=dx*+2x2a*)+22ag*x-2?85.2标准形V
§5.2 标准形 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) 2 2 n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 2 22 2 2 2 2 n n + + + a x a x x 2 33 3 3 3 2 n n + + + a x a x x2 nn n + + a x 2 11 1 1 1 2 2 2 2 n n n j j ij i j j i j a x a x x a x x = = = = + + 2 11 1 1 1 2 2 2 2 n n n j j ij i j j i j a x x a x a x x = = = = + +