第六章线性空间S5线性子空间S1集合·映射86子空间的交与和S2线性空间的定义与简单性质S7子空间的直和S3维数·基与坐标s8线性空间的同构s4基变换与坐标变换小结与习题
§2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间
$6.6子空间的交与和一、子空间的交二、子空间的和三、子空间交与和的有关性质6.6子空间的交与和
§6.6 子空间的交与和 §6.6 子空间的交与和 一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
一、子空间的交1、定义设Vi、V,为线性空间V的子空间，则集合VnV, =(a|aeV且aeV,)也为V的子空间，称之为V,与V,的交空间事实上，:0eV,0eV2,:.0eVnV,+任取α,βVnV2,即 α,βeV,且α,βeV2,则有 α+βeV,α+βeV2,:: α+βeVnV,同时有 kαeV,kαV2,:. kαVnV,,VkP故 VnV,为V的子空间.$6.6子空间的交与和
§6.6 子空间的交与和 也为V的子空间， 1 2 1 2 V V a a V a V = { | } 且 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 一 、子空间的交 1、定义 任取 1 2 1 2 , , , , , , V V V V 即 且 1 2 1 2 则有 + + + V V V V , , 同时有 1 2 1 2 k V k V k V V k P , , , 故 为V的子空间. V V 1 2 1 2 1 2 事实上， 0 ,0 , 0 V V V V 称之为V1与V2的交空间
显然有，Vnv,=V,nV,(nv)nv=Vn(nV)2、推广多个子空间的交V,V.,,V为线性空间V的子空间，则集合Vnv,n...nv, =nv, = {αlαeV,i = 1,2,3,.,s)i=1也为V的子空间，称为 V,V,,,V.的交空间$6.6子空间的交与和区区
§6.6 子空间的交与和 显然有, 2、推广 多个子空间的交 1 2 1 | , 1,2,3, , s s i i i V V V V V i s = = = = 1 2 2 1 V V V V = , V V V 1 2 ,,, s 为线性空间V的子空间，则集合 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) V V V V V V = 也为V的子空间，称为 V V V 1 2 ,,, s 的交空间
二、子空间的和1、定义 设V、V,为线性空间V的子空间，则集合V+V, =(a +a, la, eVi,a, eV)也为V的子空间，称之为V,与V,的和空间事实上,:0eV,0eV,..0=0+0eV+V,+0任取 α,βV+V2,设α=α+α2,β=β+β2,其中,αi,β,Vi,α2,β,V2,则有α+β=(α +α)+(β+β2)=(α, + β)+(α, + β,)eV+V2kα = k(α, +α,) = kα +kα, eV+V2, Vke P$6.6子空间的交与和
§6.6 子空间的交与和 二、子空间的和 1、定义 其中， 1 1 1 2 2 2 , , , , V V 则有 1 2 1 2 1 2 k k k k V V k P = + = + + ( ) , 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 也为V的子空间， 1 2 1 2 1 1 2 2 V V a a a V a V + = + { | , } 称之为V1与V2的和空间. 1 2 1 2 + = + + + ( ) ( ) 任取 , , + V V 1 2 设 1 2 1 2 = + = + , , 1 1 2 2 1 2 = + + + + ( ) ( ) V V 1 2 1 2 事实上， 0 ,0 , 0 0 0 = + + V V V V