第五章二次型s5.1二次型的矩阵表示标准形$5.2唯一性$5.3$5.4正定二次型章小结与习题
第五章 二次型 §5.1 二次型的矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型 章小结与习题
$ 5.4正定二次型正定二次型二、正定矩阵三、n元实二次型的分类四、小结85.4正定二次型
§5. 4 正定二次型 一、正定二次型 二、正定矩阵 三、n元实二次型的分类 §5.4 正定二次型 四、小结
一、正定二次型1、定义：实二次型f(xi,X2..…,xn）若对任意一组不全为零的实数Cj,C2,...,Cn都有f(ci,C2....cn) >0则称f为正定二次型如，二次型f(x,X2...,xn)=x是正定的；i=1一但二次型 (x1,x2.…,x,)=x不不是正定的.i-185.4正定二次型A
§5. 4 正定二次型 一 、正定二次型 则称f 为正定二次型. 1 2 ( , , , ) 0 n f c c c 如，二次型 是正定的； 2 1 2 1 ( , , , ) n n i i f x x x x = = 1 2 1 2 1 ( , , , ) n n i i f x x x x − = = 一组不全为零的实数 c c c 1 2 , , , n 都有 1、定义：实二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 若对任意
2、正定性的判定1）实二次型XAX正定VX ER",若X±0,则XAX>02）设实二次型f(xi,x2....xn)=dx +d,x? +...+d.x.f正定d,>0,i=1,2,,n证：充分性显然下证必要性，若f正定，取X, =(0,...,0, 1,0.....0),i = 1,2,..,n则 f(X,)=d,x, >0,.. d, >0,i=1,2,..,n$5.4正定二次型K
§5. 4 正定二次型 2、正定性的判定 1）实二次型 X AX 正定 , 0 n X R X AX 若X 0,则 2）设实二次型 f 正定 0, 1,2, , = d i n i 证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x d x d x d x = + + + 则 2 0 ( ) 0, 0, 1,2, , i i i f X d x d i n = = 0 ( ) (0, ,0, 1,0, ,0) , 1,2, , i X i n = =
3）非退化线性替换不改变二次型的正定性证明：设正定二次型 f(xj,X2,..,x,)= X'AX经过非退化线性替换X=CY化成f(xi,X2...,xn) = Y'(C'AC)Y = g(yi,J2..., yn)任取一组不全为零的数ki,k2....,k,，令WciS...Yo则,X,=CY。=二cnf(c1,C2....cn) = XAX, = Y,'(C'AC)Y, = g(ki,k2.... k.)85.4正定二次型区区
§5. 4 正定二次型 经过非退化线性替换 X＝CY 化成 则， 3）非退化线性替换不改变二次型的正定性. 1 1 2 2 0 , , 0 0 Y Y n n k c k c X C k c = = = 1 2 1 2 ( , , , ) ( ) ( , , , ) n n f x x x Y C AC Y g y y y = = 1 2 0 0 0 0 1 2 ( , , , ) ( ) ( , , , ) n n f c c c X AX Y C AC Y g k k k = = = 任取一组不全为零的数 k k k 1 2 , , , , n 令 证明：设正定二次型 1 2 ( , , , ) n f x x x X AX =